[科普中國]-分離重因式法

分離重因式法(method of separating multiple factor)是多項式因式分解的一種方法1，判斷一個多項式有無重因式可以通過輾轉(zhuǎn)相除法。

基本介紹設(shè) 是f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且其中不可約因式的最高重數(shù)m>1。令Fi(x)為f(x)的一切i重因式之積(i=1，2，…，m)，若f(x)中沒有j重因式，就令Fj(x)=1。于是由f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式得 。按以下的方法，可以具體地求出F1(x)，F(xiàn)2(x)，…，F(xiàn)m(x)，令

d1(x)=(f，f′)=F2(x)F2?(x)…Fm-1m(x)，

d2(x)=(d1，d1′)=F3(x)F24(x)…Fm-2m(x)，

………………………………………

dm-1(x)=(dm-2，dm-2′)=Fm(x)，

dm(x)=1，

則

φ1(x)= =a0F1(x)F2(x)…Fm(x)，

φ2(x)= =F2(x)F3(x)…Fm(x)，

………………………………………

φm-1(x)= =Fm-1(x)Fm(x)，

φm(x)= =Fm(x).

于是

這種按以上方法和步驟求出Fi(x)的方法，稱為分離重因式法，亦稱重因式的分離1。

相關(guān)定理定理1 若不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1），則它是f'(x)的k-1重因式。特別地，f(x)的單因式不是f'(x)的因式。

此定理的逆命題不成立。

定理 次數(shù)大于0的多項式f(x)沒有重因式的充分必要條件是f(x)與f'(x)互素2。

證明 設(shè)f(x)是一個n(n>0)次多項式，其典型分解式為：

由定理1有

此處g(x)不能被任何pi(x)（i=1，2，…，t）整除，由求最大公因式的方法，得

因此，若f(x)沒有重因式，亦即 ，從而f(x)與f'(x)互素，反之，若f(x)與f'(x)互素，必有 ，則f(x)沒有重因式．

此定理給出了判斷一個多項式有無重因式的實際方法，即通過輾轉(zhuǎn)相除法便可解決。

由于多項式的導(dǎo)數(shù)以及兩個多項式的最大公因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，所以一個多項式有無重因式，也不會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。

如果f(x)有重因式，則 ，由(1)與(2)可以看出，用 去除f(x)所得商式為

g(x)是一個沒有重因式的多項式，且它與f(x)有完全相同的不可約因式。這種去掉因式重數(shù)的方法稱為分離重因式法，由于g(x)的次數(shù)低于f(x)的次數(shù)，所以g(x)的不可約

因式可能比較容易求出，如果已經(jīng)知道g(x)的一個不可約因式，那么決定它在f(x)中的重數(shù)并不難，只要應(yīng)用帶余除法就可以計算出來，此方法既然可以求出重因式，故在某些情況下，可以用來分解因式2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)