[科普中國]-賦范可除代數(shù)

在數(shù)學中，一個賦范可除代數(shù)A是一個在實數(shù)域或復數(shù)域上的可除代數(shù)。

定義賦范可除代數(shù)是一個定義了范數(shù)的可除代數(shù)。

性質(zhì)胡爾維茲定理胡爾維茲定理【1,2,4,8定理，阿道夫·胡爾維茲，1898】：任何帶有單位元的賦范可除代數(shù)同構(gòu)于以下四個代數(shù)之一：實數(shù)R、復數(shù)C、四元數(shù)H和八元數(shù)O。

其中，R、C、H是結(jié)合代數(shù)，O是交錯代數(shù)（結(jié)合性的一種弱形式）。

其它性質(zhì)唯一的復數(shù)域上的賦范可除結(jié)合代數(shù)是復數(shù)域自身。

賦范可除代數(shù)是合成代數(shù)的一種特殊情況。合成代數(shù)是具有可乘的二次型的幺代數(shù)。通常的合成代數(shù)不必是可除的，相反，它可能含有零因子。實數(shù)域上的合成代數(shù)提供了三種額外的代數(shù)：分裂復數(shù)、分裂四元數(shù)和分裂八元數(shù)。

其它對實賦范可除代數(shù)的分類始于弗洛比紐斯，發(fā)揚于胡爾維茲，由佐恩整理為一般形式。一個簡短的歷史摘要可見Badger。1

胡爾維茲完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫或者夏皮羅處找到。

基本思路：如果一個代數(shù)A是成正比于1的，那么它同構(gòu)于實數(shù)。否則，我們使用凱萊-迪克森結(jié)構(gòu)擴展子代數(shù)以同構(gòu)于1，并引入一個向量正交于1。此子代數(shù)是同構(gòu)于復數(shù)的。如果它不是A的全體，那么我們再次使用凱萊-迪克森結(jié)構(gòu)和另一個與復數(shù)正交的向量，得到一個與四元數(shù)同構(gòu)的子代數(shù)。如果這還不是不是A的全體，我們重復以上行為一次，并得到同構(gòu)于凱萊數(shù)（或八元數(shù)）的子代數(shù)。我們現(xiàn)在有一個定理，說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數(shù)是結(jié)合的。凱萊數(shù)不是結(jié)合的，因此必須為A。

胡爾維茲定理也可以用于證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n為1,2,4或者8時。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學