[科普中國(guó)]-正星體

正星體(regular star body)是一種特殊的正多面體，以正n面體各面為底，向外作正棱錐，使這些棱錐的側(cè)面皆為相等的正三角形，這樣得到的若是凹多面體，則稱(chēng)它為正(n角)星體。這類(lèi)正星體有四種，它們分別是正六角星體、正八角星體(各有24個(gè)面)和正十二角星體、正二十角星體(各有60個(gè)面)1。

基本介紹正多面體中除了五種凸正多面體（又稱(chēng)“柏拉圖立體”）外，還有四種正星體，它們是凹正多面體，開(kāi)普勒（Kepler）與普安索(Poinsot)發(fā)現(xiàn)了這4種內(nèi)凹的正多面體，故又把這四種正星體稱(chēng)為Kepler-Poinsot多面體。四種正星體分別是如圖1至圖4所示的正六角星體、正八角星體(各有24個(gè)面)和正十二角星體、正二十角星體(各有60個(gè)面)。

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開(kāi)普勒與普安索的發(fā)現(xiàn)開(kāi)普勒研究過(guò)正多面體(每個(gè)面皆為全等的正多邊形的幾何體)，他知道：早在古希臘時(shí)期，哲人柏拉圖已發(fā)現(xiàn)了五種正多面體(正4、6、8、12、20面體，后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)：凸正多面體僅有上面五種)，對(duì)于非凸的情形又將如何?

首先，開(kāi)普勒（Kepler）發(fā)現(xiàn)了兩種各面均為全等三角形的凹正多面體：小星狀正十二面體和大星狀正十二面體。1809年波因素特(Poinsot)（即普安索）又發(fā)現(xiàn)了兩種凹正多面體(每面皆為全等三角形)：大十二面體和大二十面體。

附記 開(kāi)普勒在研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，還涉及了一些數(shù)學(xué)特別是幾何問(wèn)題。1611年他曾斷言：在一個(gè)大立方體中堆放半徑一樣的小球，小球總體積與立方體積之比ρ不超過(guò)(開(kāi)普勒猜想)。這是一個(gè)至今尚未解決(證明)的結(jié)論，盡管人們對(duì)它的正確性并不懷疑，盡管人們對(duì)比值ρ不斷改進(jìn)，到目前為止，人們證明的最好結(jié)果是ρ≤0.7731，這是由數(shù)學(xué)家穆德(D.J.Muder)于1993年給出的2。

四種正星體的介紹小星狀正十二面體正二十面體同一面的五個(gè)相鄰面延展后，交于一點(diǎn)，與底面形成正五棱錐(圖5)。類(lèi)似的作法，其他十一個(gè)面上都會(huì)形成全等的正五棱錐。這種含十二個(gè)正五棱錐的星體稱(chēng)為小星狀正十二面體(Small Stellated Dodecahedron)，它的直觀圖如圖版6左，平面圖如圖版6右。其面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)分別為f=12,v=12,e=30。

這一星體作法的等價(jià)說(shuō)法是：延展正十二面體各面所在平面(圖版6左)，十二平面兩兩相交，形成十二個(gè)五角星形，正十二面體同一面上也同樣出現(xiàn)十二個(gè)正五棱錐3。

大正十二面星體星體構(gòu)造法減法中從正二十面體十二個(gè)對(duì)頂面使兩兩相交，相交面的公共部分出現(xiàn)一個(gè)凹多面體，這個(gè)立體就是第二種開(kāi)普勒一普安索體。不妨設(shè)想在圖7中正二十面體的D點(diǎn)有五條棱通過(guò)：DA、DE、DI、DH、DC。AEIHC為一平面正五邊形，是正二十面體一個(gè)對(duì)頂面。除了對(duì)頂面LGBFJ與它平行外，其余十個(gè)對(duì)頂面與它兩兩相交，形成了一朵美麗的立體五角星(圖8)。十二個(gè)對(duì)頂面上都出現(xiàn)了同樣的立體，它們的全體就構(gòu)成了大正十二面星體(Great Dodecahedron)。其面數(shù)，棱數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)分別為12,30,12。其面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)分別為f=12,v=12,e=30。

之所以稱(chēng)為十二面是因?yàn)樗氖€(gè)角頂分別對(duì)應(yīng)一個(gè)正五角星形對(duì)頂面，它的直觀圖如圖版9左，平面圖為圖版9右，它是小星狀十二面體的對(duì)偶圖形3。

大星狀正十二面體大星狀正十二面體是從大正十二面星體經(jīng)過(guò)加法構(gòu)造出來(lái)的。就在大正十二面星體外添加了二十個(gè)正三棱錐，它們的全體就是大星狀正十二面星體(Great Stellated Dodecahedron)。之所以稱(chēng)為大星狀正十二面星體是因?yàn)樗惺€(gè)面。其面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)分別為f=12,v=20,e=32。

大星狀正十二面體作法的等價(jià)說(shuō)法是：從大正十二面星體做加法，延展它的十二個(gè)面，使兩兩相交，在形外產(chǎn)生二十個(gè)正五棱錐，在同一延展面上的五邊形擴(kuò)展成正五角星，從此也就輕便地獲知大星狀正十二面體上每一正五棱錐的側(cè)面也是以底角72。、頂角36。形成的等腰三角形。

另一方面，我們還有興趣地看到，大星狀正十二面體的核心恰是一個(gè)以它的正三棱錐底棱作為棱的正二十面體。因此它的模型是很容易制作的。

大正二十面星體大正二十面星體是從正二十面體的二十個(gè)面延展構(gòu)成的。構(gòu)造設(shè)想十分奇巧。其面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)分別為f=20,v=12,e=303。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王偉 - 副教授 - 上海交通大學(xué)