[科普中國]-相似弓形

相似弓形(similar segments of a circle)是兩個(gè)相關(guān)的弓形，指兩個(gè)弓形是相似形，它們的弧(或弦)所對(duì)的圓心角相等，反之亦然1。

基本介紹相似弓形是那些含相等角的弓形，或者張?jiān)谒鼈兩系慕鞘潜舜讼嗟鹊摹?/p>

弓形是由一條弦和一段弧所圍成的圖形；弓形的角是由一直線和一段圓弧所夾的角；

在一段圓弧上取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)和這段圓弧的底的兩個(gè)端點(diǎn)的二直線所夾的角叫做弓形角，而且把這個(gè)弓形角叫做張于這段弧上的弓形角；由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截--段圓弧圍成的圖形叫做扇形2。

相關(guān)結(jié)論命題1 在同一條線段的同一側(cè)，不可能作兩個(gè)相似但不相等的弓形。

假設(shè)可能，設(shè)在同一線段ABV的同一側(cè)作相似且不相等的弓形ACB、弓形ADB，作ACD與兩弓形相交，連接CB、DB。

那么因?yàn)椋汗蜛CB相似于弓形ADB，而圓的相似弓形有相同的角。

所以：∠ACB等于∠ADB，即是外角等于內(nèi)角，這是不可能的。

所以：在同一條線段的同一側(cè)，不可能作兩個(gè)相似但不相等的弓形。

證完。

命題2相等的弦上的相似弓形全等。

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設(shè)：AEB、CFD為作在相等線段AB、CD上的兩個(gè)相似弓形。

求證：弓形AEB全等于弓形CFD。

因?yàn)?，如果弓形AEB移動(dòng)到CFD，且A點(diǎn)放置在C點(diǎn)，線段AB在線段CD上，那么，點(diǎn)B就與點(diǎn)D重合。因?yàn)锳B等于CD，AB又與CD重合，弓形AEB也就與弓形CFD重合。

因?yàn)椋喝绻€段AB與CD相重合，而弓形AEB與弓形CFD不相重合，那么它或者落于其內(nèi)，或者落于其外，或者落在CGD的位置，則兩圓相交形成兩個(gè)以上的交點(diǎn)。這是不可能的。

所以：如果線段AB重疊在CD上，那么弓形AEB就不能不與CFD重合。所以:它們?nèi)取?/p>

所以：相等弦上的相似的弓形全等2。

相似弓形的面積求月牙形面積

希俄斯島的希波克拉底比阿那克薩哥拉稍微年輕一些， 最初大約來自希臘世界的同一地區(qū)。不要把他混同于另一位更有名的同時(shí)代人:科斯島的醫(yī)生希波克拉底。科斯和希俄斯都是多德卡尼斯群島中的島嶼;但希俄斯島的希波克拉底大約在公元前430年離開了故鄉(xiāng)，以一個(gè)商人的身份去了雅典。亞里士多德說，希波克拉底不如泰勒斯精明，他在拜占庭因?yàn)轵_局而血本無歸；另有人說，他遭到了海盜的圍攻。不管怎樣吧，受害人從未對(duì)這件事情感到遺憾，因?yàn)樗堰@視為自己的好運(yùn)，結(jié)果讓他轉(zhuǎn)向了幾何學(xué)研究，在這方面，他取得了引人注目的成就一這 是一個(gè)典型的英雄時(shí)代的故事。普羅克洛斯曾寫到，希波克拉底編寫過一部《幾何原理》，比歐幾里得那部赫赫有名的《幾何原本》早100多年。然而，希波克拉底的這部教科書一也有傳聞?wù)f是柏拉圖學(xué)派晚期的一位同人利昂所寫一失傳了， 盡管亞里士多德知道這本書。事實(shí)上，公元前5世紀(jì)的數(shù)學(xué)論文無一幸存；但我們有一個(gè)希波克拉底的著作片段，對(duì)此，辛普里丘(約520年在世)聲稱是從歐德謨斯的《數(shù)學(xué)史》(History of Mathematics，今已失傳)中逐字抄錄的。這段簡(jiǎn)短的陳述，是我們所能得到的最接近于那一時(shí)期數(shù)學(xué)原始材料的東西，它描述了希波克拉底作品中處理求月牙形面積的部分。月牙形是由兩段半徑不等的圓弧所圍起來的幾何圖形，求月牙形面積的問題無疑源自于化圓為方問題。歐德謨斯的片段把下面這條定理歸到了希波克拉底名下：

相似弓形的面積之比等于其底邊的平方之比。

歐德謨斯的記述稱，希波克拉底首先指出，兩個(gè)圓的面積之比等于各自直徑的平方之比，從而證明了上述定理。這里，希波克拉底采用了在畢達(dá)哥拉斯思想中扮演了極為重要角色的比例的語言和概念。事實(shí)上，有人認(rèn)為，希波克拉底也成了一個(gè)畢達(dá)哥拉斯的信徒?？肆_頓的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派遭到了取締(可能是因?yàn)樗拿孛苄裕部赡苁且驗(yàn)樗Ｊ氐恼蝺A向)，但它的信徒卻散落各地，遍及整個(gè)希臘世界，這只不過起到了擴(kuò)大該學(xué)派影響的作用。希波克拉底無疑(直接或間接地)感覺到了這種影響3。

希波克拉底關(guān)于圓面積的定理，似乎是希臘世界中最早的對(duì)曲線求積法的準(zhǔn)確陳述。歐德謨斯相信，希波克拉底給出了這一定理的證明，但嚴(yán)格的證明在那一時(shí)期( 即公元前430年前后)似乎是不大可能的。在這一階段，比例論大概僅僅是為可公度量而建立的。歐幾里得第二十二卷第2節(jié)中所給出的證明，源自于歐多克索斯，因此下面這個(gè)假設(shè)看來是合理的:《幾何原本》第三和第四卷中的很多公式源自于希波克拉底的作品。而且，如果希波克拉底給出了這個(gè)關(guān)于圓面積定理的證明，那么有可能就是他把間接的證明方法引入了數(shù)學(xué)。也就是說，兩個(gè)圓的面積之比等于(或不等于)其直徑平方之比。通過對(duì)兩種可能性的第二種作歸謬法，唯一可選的證明得以確立。

從這個(gè)關(guān)于圓面積的定理，希波克拉底輕而易舉地發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)求曲線區(qū)城面積的嚴(yán)謹(jǐn)方法。他從一個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形的半圓開始，在底(斜邊)上作出了一個(gè)與直角三角形邊上的圓弓形相似的弓形(圖4)。因?yàn)檫@些弓形的面積之比等于其底的平方之比，由直角三角形的畢達(dá)哥拉斯定理可知，兩個(gè)小弓形之和等于大弓形。因此，半圓AC與弓形ADCE之差等于三角形ABC。所以，月牙形ABCD正好等于三角形ABC；由于三角形ABC等于AC一半的平方，月牙形面積的求法也就找到了。

歐德謨斯還描述了一種基于等腰梯形的希波克拉底月牙形面積求法，內(nèi)接于圓的等腰梯形ABCD，其最長邊(底) AD的平方等于三個(gè)較短邊AB、BC和CD的平方之和(圖5)。那么， 如果在邊AD上作一個(gè)弓形AEDF相似于三個(gè)等邊上的弓形，則月牙形ABCDE等于等腰梯形ABCDF3。

下面這個(gè)事實(shí)表明，我們?cè)诿枋鱿２死椎脑卵佬蚊娣e求法時(shí)，是有著相對(duì)可靠的歷史根據(jù)的:除了辛普里丘之外，還有別的學(xué)者也提到了這項(xiàng)工作。辛普里丘生活在6世紀(jì)，但他所依據(jù)的并不僅僅是歐德謨斯(約公元前320年在世)，而且還有亞里士多德的主要注釋者之一、阿芙洛蒂斯的亞歷山大(約公元200年在世)。亞歷山大描述了兩種不同于，上述方法的月牙形面積求法。(1) 如果分別在等腰三角形的斜邊和直角邊上作半圓(圖6)，那么，在較短邊上所創(chuàng)造出來兩個(gè)月牙形之和就等于三角形。(2)如果在一個(gè)半圓的直徑上作一個(gè)三邊相等的等腰梯形(圖7)，并在三條等邊上作半圓，則梯形的面積就等于四個(gè)曲線區(qū)域的面積之和；三個(gè)月牙形和梯形等邊上的一個(gè)半圓。從第二種月牙形面積求法可以得出：如果能求出與月牙形面積相等的正方形，那么，與半圓——因此也包括圓——相等的正方形也是可以求出的。這個(gè)結(jié)論似乎鼓勵(lì)了希波克拉底，還有他的同時(shí)代人和早期繼任者，使之滿懷信心地希望最終能夠求出與圓面積相等的正方形3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

方正 - 副教授 - 江南大學(xué)