[科普中國]-三角方程組

所謂三角方程組(system of trigonometric equations)是指方程組中或僅僅包含三角方程，或包含三角方程和代數(shù)方程。如果一個(gè)未知數(shù)能表示為另一個(gè)未知數(shù)的顯式，那么可將三角方程組化為含單變量的一個(gè)方程。有些三角方程組，可根據(jù)三角式的恒等變換而化為代數(shù)方程組1。

三角函數(shù)方程組的解法原理三角函數(shù)方程組的解法原理，與代數(shù)學(xué)中解方程組的方法類似：它們都是首先通過代數(shù)的或三角的變換， 逐漸消去未知數(shù)，直到化為含有唯一的未知量的普通方程并對它求解，然后再把這個(gè)解代入到其他各式中，求其全部解2。

解三角方程組的注意事項(xiàng)解三角方程組時(shí)要注意以下四點(diǎn)：

1. 消去三角方程組中的未知數(shù)，一般除了使用代入法外，還常常利用各種三角公式與代數(shù)變換。 特別地， 當(dāng)問題有不同情況時(shí)，也常要求有不同的方法，這些并沒有固定的規(guī)律可循，這是求解三角方程組的一個(gè)很大困難，克服這個(gè)圖難的辦法，要求三角公式運(yùn)用熟練，多作題目，多見類型，逐步提高分析問題的能力。

2. 求得方程組的解之后，與代數(shù)中解方程組一樣， 也得一組一組地把解分別列出，并將所得的每組解一一代入到原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，去掉增加根，并要注意遺根。代入檢驗(yàn)是很麻煩的，一般方法是只把在區(qū)間上的角代入進(jìn)行檢驗(yàn)，而不把解的一般形式代入到方程組中，這樣可使計(jì)算簡單些2。

3. 所求得的解，有時(shí)還要求受到一定條件的約束，常見的情況有:

(1)當(dāng)解中含有形如arcsin2或arcsin(-2)這樣的項(xiàng)時(shí)，由于這樣的項(xiàng)不可能代表任何確定的角，故應(yīng)在說明之后舍去。

(2)當(dāng)解中含有形如的項(xiàng)時(shí)，由于我們只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論三角函數(shù)，顯然必須滿足條件

且

并由此求得x的取值范圍。但是， 我們約定，只要題目中沒有明確提出要求，我們并不進(jìn)行討論，即認(rèn)為這樣已經(jīng)求得了最后結(jié)果。

4. 由于

所以， 當(dāng)方程的系數(shù)為文字系數(shù)時(shí)，方程組解的形式往往隨所采取的解法不同而有不同。但是，不管解的形式怎樣，只要合理就行，并不需要化為一致。當(dāng)方程的系數(shù)為普通數(shù)字時(shí)，我們也這樣辦，但遇到這種情況的機(jī)會(huì)要少一些2。

例題解析1.解方程組：

解：顯然

且

因?yàn)?/p>

（即），所以，從方程（1）得，由此，

和。

2.解方程組2：

解:由（1）得

使（3）代入（2）

所以

使，則，所以

代入（3）

使，則，所以

代入（3），有

答：方程組的解為

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

方正 - 副教授 - 江南大學(xué)