[科普中國]-勾股求弦作圖

我國古代，把直角三角形的兩條直角邊叫做勾和股，斜邊叫做弦。勾股求弦作圖(construction of seeking hypotenuse chord of given legs of a triangle)即已知直角三角形的直角邊求做斜邊。

基本介紹“勾股求弦”作圖即：作一線段，其中都是一已知線段。

已知 線段a、b

求作 線段x使

作法 作一直角∠EBF，在BE上截取BA=a，在BF上截BC=b，連AC，則AC即為所求x。

相關(guān)歷史介紹**《周髀算經(jīng)》** 我國古代，把直角三角形的兩條直角邊叫做勾和股，斜邊叫做弦。在數(shù)學(xué)古書《周髀算經(jīng)》中，曾記載了周公和商高的一段問答，其中談到“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”。“勾廣”就是勾長，“股修”就是股長，“徑隅”就是弦長。這句話的意思是說，如果將一根直尺折成一個(gè)直角，若短直角邊的長為3，長直角邊的長為4，那么斜邊的長一定為5。在《周髀算經(jīng)》中記載的榮方和陳子的問答中，談到了由勾股求弦的一般方法“勾股各自乘，并而開方除之”。可見古代勞動人民已將勾股定理運(yùn)用于生產(chǎn)實(shí)踐之中。一般認(rèn)為《周髀算經(jīng)》成書于公元前1世紀(jì)，可見我國至少在2100年前就發(fā)現(xiàn)了勾股定理1。

《勾股舉隅》《勾股舉隅》為梅文鼎研究中國傳統(tǒng)勾股算術(shù)的著作，全書一卷，其中的主要成就，是對勾股定理的證明和對勾股算術(shù)算法的推廣。書中首列“和較名義”，其次以兩幅“弦實(shí)兼勾實(shí)股實(shí)圖”來說明勾股定理(如下圖)，其論說的根據(jù)是出入相補(bǔ)原理。

在問題的陳述上，本書以“問題”、“法”、“論曰”為主，法為算法，論曰為證明，若有另外的算法，則再加，上“又法”及“論日”，部分題目則給出了“又簡法”，即速算法。書中的每個(gè)問題皆附上圖形，圖形的目地主要是用來說明出入相補(bǔ)法。在內(nèi)容上，本書大致上可分作兩部分，一為勾股算術(shù)，另一主要為勾股測量。前者共列13題，后者則為6問。前者內(nèi)容如下2：

|| ||

其中“勾股積與弦較較求諸數(shù)”(5)、“勾股積與弦較和求諸數(shù)”(6)、“勾股積與弦和較求諸數(shù)”(7)、“勾股積與弦和和求諸數(shù)”(8)、“勾股較弦和和求諸數(shù)”(11)、“勾股較、弦和較求諸數(shù)”等六個(gè)問題在歷史上是首度出現(xiàn)。此外，梅文鼎對這些題目中所給的算式中，最重要的是:

[c-(b-a)][c+(b+a)]=[(b+a)-c][(b+a)+c]=4(ab/2).

梅文鼎對其評價(jià)很高，他認(rèn)為此式“乃立之根也。而其理皆具古圖中，學(xué)者所宜深玩”。這里的“古圖”指的即是趙爽注《周髀算經(jīng)中》之“勾股圓方圖”，對此式的證明也是利用此圖來完成的。值得注意的是，“弦與勾股和求勾股用量法”一題中所用的標(biāo)尺作圖之方法，與徐光啟《勾股義》中“勾股求容圓”來作比較，可以發(fā)現(xiàn)梅文鼎在標(biāo)尺作圖的概念已相當(dāng)正確，顯示梅文鼎對《幾何原本》有一定深度的了解。另外，從梅文鼎在測量問題上所使用的出入相補(bǔ)法來看，其內(nèi)容相當(dāng)貼近楊輝乃至于劉徽的作法，有別于明末西方傳人的測量方法2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)