[科普中國(guó)]-最大公度

最大公度(maximal commensurability)是平面幾何的基本概念之一，指兩線段的公度中的最長(zhǎng)線段。有公度的兩線段一定有最大公度而無(wú)最小公度，在兩條線段中，較長(zhǎng)線段恰好含有較短線段的整數(shù)倍，則較短線段就是它本身和較長(zhǎng)線段的最大公度，在兩條線段中，如果較長(zhǎng)線段含有較短線段的整數(shù)倍而有剩余，則這兩線段的最大公度(如果存在)等于較短線段和剩余線段的最大公度1。

基本概念兩線段的公度如圖1，有線段u和線段a、b，如果用線段u去量a，m次剛好量完，不多也不少；同樣，用u去量b，也剛好量n次量完。這時(shí)我們說(shuō)，線段a和b是可公度的，而線段u稱為線段a和b的公度。

很清楚，如果u是a、b的公度，那么，都是a、b的公度。因此，如果a和b是可公度的，那么它們有無(wú)限多個(gè)公度線段。顯然，公度沒(méi)有最小的。

最大公度最大公度(greatest common measure)是指公度中的最大者。求最大公度的方法與求兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)的歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法完全相同，它在歐幾里得的《幾何原本》中即已出現(xiàn)。

最大公度的求法線段的最大公度的求法

從下面的基本定理，我們就可以找到求兩條線段的最大公度的方法。為了敘述方便，用(a，b)表示線段a和b的最大公度2。

定理 設(shè)有兩線段a和b。

(1)如果a=b，那么(a，b)=a=b(圖2)；

(2)如果a>b，用b去量a剛好量m次量完，那么(a，b)=b(圖3)；

(3)如果a>b，用b去量a，量若干次后剩下一段線段c，而0