[科普中國(guó)]-透視仿射對(duì)應(yīng)

把直線(平面)上的點(diǎn)經(jīng)過平行投影到另一直線(平面)上，這樣得到的點(diǎn)與點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)稱為“平行透視”，把一個(gè)圖形經(jīng)過有限次平行透視后變成另一個(gè)圖形時(shí)，叫作“仿射對(duì)應(yīng)”，由一回的平行投影所成的仿射對(duì)應(yīng)，又稱為“透視仿射對(duì)應(yīng)”，把同一平面內(nèi)單方面的透視仿射對(duì)應(yīng)，稱為透視仿射變換1。

基本介紹透視仿射對(duì)應(yīng)(perspective affine correspondence)亦稱平行投影，是仿射幾何中的一種對(duì)應(yīng)，指兩個(gè)點(diǎn)集間通過平行投影所建立的對(duì)應(yīng)。設(shè)α與β是兩個(gè)平面(如圖1)，過α內(nèi)各點(diǎn)A，B，C，…，引直線平行于給定的方向，交β于A′，B′，C′，…，這樣使α內(nèi)的點(diǎn)與β內(nèi)的點(diǎn)建立起一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)稱為α到β的透視仿射對(duì)應(yīng)。透視仿射對(duì)應(yīng)與給定的方向有關(guān)，沿不同方向作平行線，就得到α與β間不同的透視仿射對(duì)應(yīng)，透視仿射對(duì)應(yīng)保持同素性，即在該對(duì)應(yīng)下，對(duì)應(yīng)的幾何元素保持同一種類。例如，它把點(diǎn)仍變成點(diǎn)，另外，把直線仍變?yōu)橹本€，透視仿射對(duì)應(yīng)還保持點(diǎn)與直線的結(jié)合性(即點(diǎn)在直線上或直線經(jīng)過點(diǎn))，兩直線的平行性及共線三點(diǎn)的單比不變2。

透視仿射對(duì)應(yīng)的分類同一平面內(nèi)直線a到直線a'的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)為平面上另一直線，它與直線a和a'均不平行，通過直線a上各點(diǎn)A，B，C，…分別作的平行線交a'于A'，B'，C'，…，這樣便得到了直線a到a'的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，稱為透視仿射對(duì)應(yīng)(平行射影)，如圖2所示，顯然，透視仿射對(duì)應(yīng)和直線的方向有關(guān)。如果直線a和a'相交，則交點(diǎn)是自對(duì)應(yīng)點(diǎn)或稱為二重點(diǎn)(不變點(diǎn))3。

空間兩個(gè)平面間的透視仿射對(duì)應(yīng)設(shè)有平面和，直線與平面和都不平行，如圖3所示，通過平面內(nèi)各點(diǎn)A，B，C，……分別作的平行線交平面于A'，B'，C'，……，這樣平面內(nèi)的點(diǎn)與平面內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)，稱為平面到的透視傷射對(duì)應(yīng)(平行射影)。顯然，平面和間透視仿射對(duì)應(yīng)也與直線的方向有關(guān)。如果平面和相交于直線m，則m上的每一個(gè)點(diǎn)都是自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(二重點(diǎn))3。

透視仿射對(duì)應(yīng)的性質(zhì)透視仿射對(duì)應(yīng)的性質(zhì)：

(1)透視仿射對(duì)應(yīng)保持同素性。

(2)透視仿射對(duì)應(yīng)保持結(jié)合性。

(3)透視仿射對(duì)應(yīng)保持共線三點(diǎn)的單比不變。

(4)透視仿射對(duì)應(yīng)保持二直線的平行性3。

設(shè)P1，P2，P為共線三點(diǎn)，定義

其中是有向線段的數(shù)量，稱為共線三點(diǎn)P1，P2，P的單比，P1，P2叫基點(diǎn)，P叫分點(diǎn)。

當(dāng)P在P1，P2之間時(shí)，(P1P2P)0；

當(dāng)P與P1重合時(shí)，(P1P2P)=0；

當(dāng)P與P2重合時(shí)，(P1P2P)不存在3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所