[科普中國]-開普勒問題

在經(jīng)典力學(xué)里，開普勒問題是二體問題的一個(gè)特別案例。假若，兩個(gè)物體以有心力互相作用；力的大小與距離的平方成反比。則稱此物理系統(tǒng)所涉及的問題為開普勒問題。1

背景開普勒問題是因天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒而命名。他推出了在天文學(xué)歷史上，具有關(guān)鍵價(jià)值的開普勒定律。遵守開普勒定律的作用力有哪些特性呢（逆開普勒問題）？在這方面，他也做了很多的研究。2

在很多狀況下，會(huì)遇到開普勒問題。天體力學(xué)時(shí)常會(huì)涉及開普勒問題，因?yàn)榕ｎD萬有引力遵守反平方定律。例如，人造衛(wèi)星環(huán)繞著地球，行星環(huán)繞著太陽，或雙星系統(tǒng)。開普勒問題涉及了兩個(gè)電荷子的物理運(yùn)動(dòng)，因?yàn)殪o電學(xué)的庫侖定律遵守反平方定律。例如，氫原子，正子素，與μ子偶素。這些典型系統(tǒng)，在測(cè)驗(yàn)物理理論與測(cè)量自然常數(shù)上，都扮演了很重要的角色。

在經(jīng)典力學(xué)里，開普勒問題與諧振子問題是兩個(gè)最基本的問題。只有這兩個(gè)問題的解答是閉合軌道；也就是說，物體從一點(diǎn)移動(dòng)，經(jīng)過一段路徑后，又回到原先點(diǎn)。在經(jīng)典力學(xué)里，開普勒問題時(shí)常被用來發(fā)展新的表述方法，像拉格朗日力學(xué)，哈密頓力學(xué)，哈密頓-亞可比方程，與作用量-角度坐標(biāo)。在開普勒問題里，拉普拉斯-龍格-楞次矢量是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)。開普勒問題的解答使科學(xué)家能夠用經(jīng)典力學(xué)完全地解釋清楚行星運(yùn)動(dòng)。這行星運(yùn)動(dòng)的科學(xué)解釋在啟蒙時(shí)代的開啟扮演了重要的角色。

定義在經(jīng)典力學(xué)里，開普勒問題是二體問題的一個(gè)特別案例。假若，兩個(gè)物體以有心力F互相作用；力的大小與距離r的平方成反比。則稱此物理系統(tǒng)所涉及的問題為開普勒問題。反平方有心力以公式表示為

其中，k是常數(shù)，是徑向單位矢量。

有心力可以是吸引性的（k0），對(duì)應(yīng)的位勢(shì)為

問題解析所有的吸引性的有心力都能夠形成圓形軌道，前提是有心力必須相等于粒子的向心力。給定圓半徑，這要求相當(dāng)于物體的角速度已被決定。在此條目里，不會(huì)提到非有心力。一般而言，非有心力不能形成圓形軌道。

假設(shè)，一個(gè)質(zhì)量為m的粒子移動(dòng)于一個(gè)連心勢(shì)V(r)內(nèi)。r是徑向坐標(biāo)。其拉格朗日方程為

其中，時(shí)間是t，角速度是，運(yùn)動(dòng)常數(shù)角動(dòng)量是。

詳細(xì)說明，對(duì)于圓形軌道，方程左手邊第一項(xiàng)目等于零；如預(yù)期，有心力相等于向心力。角動(dòng)量定義可以將自變數(shù)從t改變?yōu)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/QETzNlJDRYn7z4jeYgNlGkX9Ox7UMKhb58qw.jpg" alt="" />：

這樣，新的運(yùn)動(dòng)方程不含時(shí)間：

變數(shù)變換，將方程兩邊乘以，則可得二次微分方程：

對(duì)于一個(gè)反平方作用力，像萬有引力或靜電力，位勢(shì)可以表示為

代入微分方程，

導(dǎo)引出軌道為

其中，離心率是e，相位常數(shù)是。這些都是積分常數(shù)。

這是一個(gè)焦點(diǎn)在力中心點(diǎn)的圓錐曲線方程。圓錐曲線的離心率與總能量E有關(guān)：

假若，則e=0，軌道是圓形的；假若E1，軌道是雙曲線。

相關(guān)術(shù)語開普勒定律

廣義相對(duì)論中的開普勒問題

拉普拉斯-龍格-楞次矢量

伯特蘭定理

哈密頓-亞可比方程

作用量-角度坐標(biāo)

牛頓旋轉(zhuǎn)軌道定理

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所