[科普中國]-二階曲線

二階曲線(curve of order 2)是平面射影幾何的基本研究對(duì)象。兩射影線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)集稱為二階曲線。兩個(gè)不共心、非透視的射影線束所成的二階曲線稱為常態(tài)二階曲線。兩個(gè)透視線束所成的二階曲線稱為變態(tài)的二階曲線。由于二階曲線和二級(jí)曲線從代數(shù)形式上看是一致的，都是二次方程，因此統(tǒng)稱為二次曲線1。

基本介紹設(shè)在平面上點(diǎn)的齊次仿射坐標(biāo)或射影坐標(biāo)為(x1，x2，x3)，則滿足三元二次齊次方程

的點(diǎn)的全體稱為二階曲線。這里aij為實(shí)數(shù)且至少有一個(gè)不是零，該方程稱為這二階曲線的方程，(aij)稱為系數(shù)矩陣，若系數(shù)矩陣的行列式|aij|≠0，則二階曲線稱為非退化的，否則稱其為退化的，退化的二階曲線是兩條直線(可以是虛直線)，在射影平面上，成射影對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線束的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)的集合是二階曲線(參見本卷《平面解析幾何》中的“二次曲線”)2。

二階曲線的射影定義定理1 兩個(gè)不共心的射影線束，其對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)集及該兩個(gè)線束的中心組成一條二階曲線。

定理1為二階曲線提供了幾何模型，是二階曲線的存在定理。形成二階曲線的兩個(gè)射影線束的中心，由定理知，似乎與曲線上的其它點(diǎn)并不“平等”。但由下述定理可知，其實(shí)不然。

定理2 一條由兩個(gè)射影線束的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)構(gòu)成的二階曲線上，任意兩點(diǎn)都可取作構(gòu)成該曲線的兩個(gè)射影線束的中心。

定理3 平面上任意無三點(diǎn)共線的五點(diǎn)可決定一條由兩射影線束所成的二階曲線。

定理4 任何二階曲線都可由兩個(gè)射影線束所成。

定義1 兩射影線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)集稱為二階曲線。

特殊地，當(dāng)射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)時(shí)，有：

兩透視線束對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)如前討論在透視軸上；且(圖1)在兩線束的公共直線SS'=t上的每一點(diǎn)，均是兩透視線束S和S'中對(duì)應(yīng)直線SS'∈S和S'S∈S‘的交點(diǎn)。因此，二階曲線特殊地由兩條直線組成：一是透視軸，一是兩線束的公共線。

定義2兩個(gè)不共心、非透視的射影線束所成的二階曲線稱為常態(tài)二階曲線。兩個(gè)透視線束所成的二階曲線稱為變態(tài)的二階曲線。

由于二階曲線和二級(jí)曲線從代數(shù)形式上看是一致的，都是二次方程，因此統(tǒng)稱為二次曲線1。

二階曲線上的射影變換二階曲線上的射影變換(projective transformation on curves of order 2)是一種特殊的射影變換，若在二階曲線的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)，使得二階曲線上任意一點(diǎn)與各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)相連所構(gòu)成的兩個(gè)線束是射影對(duì)應(yīng)的，則稱在二階曲線上建立了射影變換，二階曲線稱為底。如圖，若O(A，B，C，…)O(A′，B′，C′，…)，則A→A′，B→B′，C→C′，…決定射影變換，記為(A，B，C，…)(A′，B′，C′，…)，也稱它們?yōu)槎A曲線上的射影點(diǎn)列，射影變換與O點(diǎn)的取法無關(guān)，二階曲線上的射影變換由三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一決定，若給了二階曲線上的一個(gè)射影變換，則對(duì)于任意兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，M′與N，N′，直線MN′與M′N的交點(diǎn)總在一條確定的直線上，這條直線就是已知變換的透視軸2。

二階曲線的極點(diǎn)二階曲線的極點(diǎn)(pole of curve of order 2)射影幾何的基本概念之一.給定一個(gè)非退化的二階曲線Γ和不在Γ上的點(diǎn)P，過P作直線交Γ于M1，M2，若Q是直線PM1上一點(diǎn)，且(M1M2，PQ)=-1，則稱P與Q關(guān)于二階曲線Γ調(diào)和共軛或關(guān)于?；楣曹楛c(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于二階曲線Γ的調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線，稱為點(diǎn)P的極線，點(diǎn)P稱為這直線的極點(diǎn)。若點(diǎn)P在二階曲線上，則規(guī)定其極線就是它的切線。反之，切線的極點(diǎn)就是它的切點(diǎn)。這樣，對(duì)于非退化的二階曲線，極點(diǎn)和它的極線之間就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。如果二階曲線為2

則點(diǎn)p(p1，p2，p3)的極線方程是

反之，直線l[u1，u2，u3]的極點(diǎn)P(p1，p2，p3)的坐標(biāo)可由下列方程組解出

二階曲線的奇異點(diǎn)二階曲線的奇異點(diǎn)(singular point of curve of order 2)是二階曲線上的特殊點(diǎn)，簡(jiǎn)稱奇點(diǎn)。即二階曲線（1）上滿足條件

的點(diǎn)P(p1，p2，p3)，二階曲線非退化的充分必要條件是無奇異點(diǎn)，退化二階曲線必有奇異點(diǎn)(可以是虛點(diǎn))，且當(dāng)系數(shù)矩陣(aij)的秩等于2時(shí)，有惟一奇異點(diǎn);當(dāng)(aij)的秩等于1時(shí)，有無窮多個(gè)奇異點(diǎn)，它們?cè)谕粭l直線上。二階曲線的奇異點(diǎn)有簡(jiǎn)單的幾何意義：二階曲線上一點(diǎn)是奇異點(diǎn)的充分必要條件是它與曲線上任何點(diǎn)的連線含于此曲線上2。

二階曲線上的對(duì)合二階曲線上的對(duì)合(involution on a curve of order 2)是指二階曲線上的一種特殊射影變換，若在二階曲線上的點(diǎn)之間建立了非恒等的一一對(duì)應(yīng)，以曲線上任一點(diǎn)為中心與曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線構(gòu)成兩個(gè)線束，如果這兩個(gè)線束是對(duì)合的，則稱在二階曲線上所建立的對(duì)應(yīng)是對(duì)合，二階曲線上的對(duì)合由兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)惟一確定2。

二階曲線的射影分類二階曲線的射影分類(projective classification of curve of order 2)是二階曲線的一種分類方法，指用射影等價(jià)關(guān)系對(duì)二階曲線進(jìn)行的分類。射影平面上的二階曲線（1）的集合在射影群之下分為五個(gè)射影類，其標(biāo)準(zhǔn)方程和曲線名稱分別為：

1.， 非退化的實(shí)二階曲線。

2.， 非退化的虛二階曲線。

3.，一對(duì)實(shí)直線。

4.，一對(duì)虛直線。

5.，一對(duì)重合直線。

在同一類里的任意兩條二階曲線射影等價(jià)，即存在某一射影變換，將其中一條曲線變?yōu)榱硪粭l曲線。而不同類中的任意兩條曲線不射影等價(jià)2。

二階曲線的內(nèi)接n點(diǎn)形二階曲線的內(nèi)接n點(diǎn)形(inscribed n-gon of curve of order 2)是指頂點(diǎn)都在一個(gè)非退化二階曲線上的n點(diǎn)形，若一個(gè)n點(diǎn)形(簡(jiǎn)單的或完全的)的頂點(diǎn)都在一個(gè)非退化二階曲線上，則這個(gè)n點(diǎn)形稱為該二階曲線的內(nèi)接n點(diǎn)形(簡(jiǎn)單的或完全的)2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尹維龍 - 副教授 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)