[科普中國]-仿射不變量

仿射不變量(affine invariant)是仿射變換的一種特征，指圖形經(jīng)過任何仿射對應(yīng)(變換)都不改變的量。共線三點(diǎn)的單比是最基本、最重要的仿射不變量，其他如兩平行的有向線段之比、平行平面(包括同一平面)上兩個(gè)封閉圖形的面積比等都是仿射不變量1。

基本介紹給定一組多項(xiàng)式，設(shè)是由這組多項(xiàng)式的系數(shù)所決定的函數(shù)，G是作用在這些系數(shù)上的變換群，如果經(jīng)過變換群G作用后函數(shù)值不變，就稱為這組多項(xiàng)式或由這組多項(xiàng)式所組成的方程組在變換群G作用下的不變量(invariant)。當(dāng)G分別代表運(yùn)動(dòng)群、仿射群和射影群時(shí)，相應(yīng)的不變量稱為“度量不變量”、“仿射不變量”和“射影不變量”。例如， 在平面上，關(guān)于坐標(biāo)x、y的二次方程

在運(yùn)動(dòng)群G作用下有三個(gè)度量不變量：

其中記，在平面直角坐標(biāo)系中上述二次方程代表,一條二次曲線，也稱為二次曲線的度量不變量，按照它們的符號(hào)，能夠?qū)Χ吻€作出度量分類，尋找和研究不變量，是幾何學(xué)中一個(gè)重要的問題2。

分比(proportion by subtraction)亦稱“單比”，直線上三點(diǎn)P1、P2、P3的分比是。分比是仿射不變量，而且是基本不變量，即：任一仿射不變量都可用分比的一個(gè)函數(shù)來表達(dá)2。

相關(guān)定理和推論圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)(量)，稱為圖形的仿射性質(zhì)(仿射不變量)。

注：同素性，結(jié)合性，平行性和共線三點(diǎn)單比不變是基本的仿射性質(zhì)。

有關(guān)仿射性質(zhì)的一些定理和推論：

定理1 兩條平行直線經(jīng)過仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線。

推論1 兩條相交直線經(jīng)過仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l相交直線。

推論2 共點(diǎn)直線經(jīng)仿射變換后，仍變?yōu)楣颤c(diǎn)直線。

定理2 兩條平行線段之比是仿射不變量.

定理3 兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量。

推論1 兩個(gè)多邊形面積之比是仿射不變量。

推論2 兩個(gè)封閉圖形面積之比是仿射不變量3。

典型例題分析例1 兩條平行線段之比是仿射不變量3。

證明 設(shè)線段AB平行于線段CD，經(jīng)過仿射變換后，其對應(yīng)線段A'B'C'D'互相平行，下面我們只須證明

如圖1所示連接BD，作CE // BD交AB于E。由于仿射變換保持結(jié)合性和平行性，所以E的對應(yīng)點(diǎn)E'在A'B'上，且C'E' // B'D'，又因?yàn)榉律渥儞Q保持共線三點(diǎn)的單比，所以有

即

而

所以

綜上所述，兩條平行線段之比經(jīng)仿射變換后不變3。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所