[科普中國]-伽利略變換

伽利略變換是經(jīng)典力學(xué)中用以在兩個只以均速相對移動的參考系之間變換的方法，屬于一種被動態(tài)變換。伽利略變換明顯成立的公式在物體以接近光速運動時、亦或者是電磁過程不會成立，這是相對論效應(yīng)造成的。

平移變換伽利略變換建基于人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設(shè)時間和空間是絕對的。

這項假設(shè)在洛倫茲變換中被舍棄，因此就算在相對論性速度下，洛倫茲變換也是成立的；而伽利略變換則是洛倫茲變換的低速近似值。

以下為伽利略變換的數(shù)學(xué)表達式，其中(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)分別為同一個事件在兩個坐標系S和S'中的坐標。兩個坐標系以相對均速運行（速度為v），運行方向為x和x′，原點在時間為t=t'=0時重合。1

x'=x-vt；

z'=z；

t'=t。

最后一條方程式意味著時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數(shù)的術(shù)語來說，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當(dāng)參考系只沿著x軸移動時，伽利略變換只作用于兩個分量：

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

三種伽利略變換伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉(zhuǎn)、平移和均速運動復(fù)合而成的函數(shù)。設(shè)x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當(dāng)中的任何一點可以表達為有序?qū)Γ?strong>x,t）。速度為v的均速運動表達為：

（X，t）→（X+tv，t），其中v在R3內(nèi)。

平移表達為：

（X，t）→（X+a，t+b），其中a在R3內(nèi)，b在R內(nèi)。

旋轉(zhuǎn)表達為：

（X，t）→（GX，t），其中G：R3 → R3為某正交變換。作為一個李群，伽利略變換的維度為10。

變換的局限伽利略變換與牛頓的絕對時間、絕對空間的概念有關(guān)。這里所謂絕對是指長度的量度與時間的量度均與參考系的運動或參考系的選擇無關(guān)?，F(xiàn)代物理學(xué)中，電、磁、光學(xué)現(xiàn)象所符合的相對性原理與伽利略變換發(fā)生了尖銳的矛盾，因此在狹義相對論中修改了絕對時空的概念，空間和時間遵從洛倫茲變換。這時長度與時間的量度都與參考系的速度有關(guān)。不過在運動速度遠小于光的速度時，洛倫茲變換近似等于伽利略變換2。

伽利略群的中心擴張這里我們只考慮伽利略群的李代數(shù)。結(jié)果能夠輕易延伸到李群。L的李代數(shù)由H、Pi、Ci和Lij張成（反對稱張量），并能夠受交換子的作用，其中

H為時間平移的生成元（哈密頓算符），Pi為平移的生成元（動量算符），Ci為伽利略變換的生成元，而Lij為旋轉(zhuǎn)的生成元（角動量算符）。

現(xiàn)在我們可以對H'、P'i、C'i、L'ij（反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位于中心，“中心擴張”因此得名）：

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所