[科普中國]-角動量算符對易關(guān)系

在量子力學(xué)中，角動量算符之間的對易關(guān)系是基本的對易關(guān)系之一。從這些對易關(guān)系出發(fā)就足以得出關(guān)于角動量算符及其本征函數(shù)的許多性質(zhì)，而不需要關(guān)心角動量算符在某個表象下的具體表達式。從數(shù)學(xué)上看，這一套理論實際上是研究與李代數(shù)su(2) 相關(guān)的性質(zhì)。

簡介在三維空間中的角動量算符（經(jīng)典角動量的量子化）滿足下列的基本對易關(guān)系式：

式中 是列維-奇維塔符號。

上面的關(guān)系式反映了角動量算符的內(nèi)在性質(zhì)。反過來，可以直接由這組對易關(guān)系式出發(fā)，把滿足這樣性質(zhì)的算符都稱為角動量算符。

定義若有三個算符

滿足對易關(guān)系

則稱以這三個算符為分量的矢量算符

為一個角動量算符。

這樣定義的角動量算符自然地包含了軌道角動量、自旋角動量、總角動量等。

運用叉乘的符號，上面的對易關(guān)系式1也可以簡單表示為：

角動量平方算符定義角動量平方算符為

直接計算可以得到：

升算符與降算符進一步定義

它們分別稱為升算符與降算符，則直接計算可以得到下列關(guān)系式：

1）

2）

3）

4）

5）

最后一式中的是反對易子。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所