[科普中國]-純旋量

在表示論這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，特殊正交群的旋量表示中，純旋量（pure spinor 或單旋量 simple spinor）是能被克利福德代數(shù)的最大可能子空間零化的旋量。它們在1930年代被埃利·嘉當(dāng)為了分類復(fù)結(jié)構(gòu)而引進(jìn)。純旋量被引入理論物理，1960年代在羅杰·彭羅斯的推動下在自旋幾何的研究中變得愈發(fā)重要起來；它們在彭羅斯的扭量理論的研究中成為基本對象。

定義考慮一個(gè)復(fù)向量空間C具有偶復(fù)維數(shù)2n與一個(gè)二次形式Q，將向量v映為復(fù)數(shù)Q(v)?？死５麓鷶?shù)Cliff****2n是由C2n中向量的乘積滿足關(guān)系

生成的環(huán)。

旋量是克利福德代數(shù)上的模，特別地C在旋量空間上有一個(gè)作用。零化一個(gè)給定旋量 ψ 的C的子集是其一個(gè)復(fù)子空間C。如果 ψ 不等于零則m小于或等于n；如果m等于n則 ψ 稱為一個(gè)純旋量1。

純旋量集合任何純旋量被C的一個(gè)半維數(shù)子空間零化。反之給定一個(gè)半維數(shù)子空間在差一個(gè)復(fù)常數(shù)相乘的意義下也可以確定其零化的純旋量。純旋量在差一個(gè)復(fù)數(shù)相乘的意義下定義為射影純旋量。射影純旋量空間是齊性空間

SO(2n)/U(n)。

不是所有旋量都是純的。一般地，純旋量可以通過稱為純旋量約束的一系列二次方程從非純旋量中分離出來。不過，實(shí)維數(shù)不大于 6 的旋量都是純的；在 8 維，在射影的意義下只有一個(gè)純旋量約束；在 10 維，與超弦理論相關(guān)的情形，有 10 個(gè)約束

這里 Γ是伽瑪矩陣，代表生成克利福德代數(shù)的向量C。一般地有

個(gè)約束。

弦理論中的純旋量最近純旋量在弦理論中受到關(guān)注。2000年，巴西圣保羅的Nathan Berkovits 在論文《弦的龐家來共変量子化》中引入純旋量形式化。這個(gè)形式化是目前所知惟一關(guān)于時(shí)空與世界面（en:Worldsheet）超對稱同時(shí)共變的弦的量子化。2002年，奈杰爾·希欽（Nigel Hitchin）在《廣義卡拉比-丘流形》一文中提出廣義卡拉比-丘流形，其中廣義復(fù)結(jié)構(gòu)用一個(gè)純旋量定義。這些空間描述了弦理論中通量緊化的幾何。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所