[科普中國]-隨機(jī)游動模型

若時間序列{xt}適合于模型xt+xt-1=εt，其中{εt}是均值為零，方差為σε2的白噪聲序列，則稱其為隨機(jī)游動模型。隨機(jī)游動是一階自回歸模型[AR (1)]參數(shù)為a=1的極端情形。這時 {xt}不具有平穩(wěn)性， 因為上述模型可以化為： xt=ε1+...+εs+...+εt，s=1,2,...,t，Var(xt)隨t而增大，當(dāng)t→∞時Var(xt)→∞，時間序列分析一般不對隨機(jī)游動模型進(jìn)行探討研究1。

基本介紹對于AR(1)模型

它的平穩(wěn)性條件是。若，則不滿足平穩(wěn)性條件。(1)就成為

稱為隨機(jī)游動模型。表示游動者在t時刻的位置，表示向前或向后的步幅。由(2)得到

顯然，是隨機(jī)過程，它是隨機(jī)沖擊在時間上的積累，其圖形如圖1所示。這說明歷史上的任何一次沖擊同目前的沖擊起著同樣的作用，而且不隨時向的推移而消失。這里是初始值。因此，這些沖擊隨時間的推移累積起來，其圖像如圖1那樣隨機(jī)地漂移，因而這一過程是非平穩(wěn)的。其自相關(guān)函數(shù)為

所以 =1，k=0，1，2，…

自相關(guān)函數(shù)的圖像如圖2所示。

的方差為

由此可見的方差隨t的增加而不斷增大，因此，是一非平穩(wěn)序列。

隨機(jī)游動模型的經(jīng)濟(jì)原型，是由統(tǒng)計學(xué)家莫里斯·肯德爾(Maurice Kendall)在1953年發(fā)現(xiàn)的。其背景是英國皇家統(tǒng)計學(xué)會1953年在倫敦開會，討論肯德爾寫的一篇有爭論的論文《經(jīng)濟(jì)時間序列分析》的第一部分：《價格》?？系聽柕某踔允窍虢柚鷦倖柺啦痪玫碾娮佑嬎銠C(jī)尋找股票價格波動的規(guī)律，但研究結(jié)果卻有意外的發(fā)現(xiàn)，股市價格不但沒有任何規(guī)律，而且就像一個醉漢走步一樣，下周的價格等于本周的價格加上一個隨機(jī)數(shù)字，也就是說股價近似遵從隨機(jī)游動(RandomWalk)模型2。

隨機(jī)游動模型的種類若(1)是下列形式

式中為非零常數(shù)，仍是隨機(jī)沖擊值，也就是白噪聲序列，則稱(4)為帶漂移項的隨機(jī)游動模型。通過對(4)的直接迭代，可得

這里是的初始值。由此可見的期望值為

方差為

方差隨t的不斷增加而不斷增大，因此是不平穩(wěn)的隨機(jī)序列。

若(5)是如下形式

均為常數(shù)，則稱(6)為帶線性趨勢項的隨機(jī)游動模型2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所