[科普中國]-海森堡繪景

海森堡繪景是量子力學(xué)的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依于時間，而量子態(tài)則不相依于時間。海森堡繪景與薛定諤繪景有很明顯的差異。薛定諤繪景表述的算符是常數(shù)，而量子態(tài)則隨著時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同于依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統(tǒng)計結(jié)果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達(dá)同樣的物理現(xiàn)象。

介紹海森堡繪景是量子力學(xué)的一種表述。這表述的算符（可觀察量和其它算符）相依于時間，而量子態(tài)則不相依于時間。海森堡繪景與薛定諤繪景有很明顯的差異。薛定諤繪景表述的算符是常數(shù)，而量子態(tài)則隨著時間演化。雖然有這些差異，兩種繪景只是不同于依賴時間的基底的改變。兩種繪景的測量統(tǒng)計結(jié)果完全相同。這是必然的。因為，它們都是在表達(dá)同樣的物理現(xiàn)象。海森堡繪景是矩陣力學(xué)在一個任意基底的表述。其哈密頓量不一定是對角的。

數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)在量子力學(xué)里，海森堡繪景表述的量子態(tài) 不相依于時間1，可觀察量 滿足海森堡方程：

；

其中， 是約化普朗克常數(shù)， 是哈密頓量， 是 與 的對易算符。在有些方面，我們感覺海森堡繪景會比薛定諤繪景更自然，更具有基礎(chǔ)性。特別是在表述相對論的時候，海森堡繪景顯然的表露出洛倫茲不變性。

更加地，海森堡繪景表述的量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似可以很容易的觀察到：將對易算符改為泊松括號，海森堡方程立刻就變成了哈密頓力學(xué)里的運動方程。

史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann theorem) 證明海森堡繪景與薛定諤繪景是等價的。

導(dǎo)引海森堡方程設(shè)定可觀察量 （一個厄米算符）。處于時間 的量子態(tài)，其可觀察量的期望值是

。

根據(jù)薛定諤繪景，

。

那么，

。

定義相依于時間的算符 ，

。

隨時間的導(dǎo)數(shù)是

。

所以，

。

應(yīng)用算符恒等式：

。

對于不相依于時間的，我們得到

。

由于泊松括號與對易算符的關(guān)系，在哈密頓力學(xué)里，這方程也成立。

對易關(guān)系很明顯地，由于算符的相依于時間，對易關(guān)系在海森堡繪景里跟在薛定諤繪景里有很大的差異。例如，思考算符 與。這些算符隨時間的演化，相依于系統(tǒng)的哈密頓量。一維諧振子的哈密頓量是

。

位置算符和動量算符的演化方程分別為

，

。

再求這兩個方程隨時間的導(dǎo)數(shù)，

，

。

設(shè)定初始條件為

，

。

二次微分方程的解答分別是：

，

。

稍加運算，可以得到海森堡繪景里的對易關(guān)系：

，

，

。

請注意，假若 ，我們立刻會得到熟悉的正則對易關(guān)系。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所