[科普中國]-克萊布希－高登系數(shù)

在量子力學(xué)中，克萊布希－高登系數(shù)（Clebsch–Gordan

coefficients，簡稱 CG 系數(shù)，又稱向量耦合系數(shù)等）是兩個角動量耦合時，它們的本征函數(shù)的組合系數(shù)。從數(shù)學(xué)的角度，克萊布希－高登系數(shù)出現(xiàn)在緊李群的表示論中，它研究的是兩個不可約表示的張量積如何分解成不可約表示的直和?？巳R布希－高登系數(shù)因阿爾弗雷德·克萊布什和保羅·哥爾丹而得名。

定義從角動量的一般量子理論出發(fā)，以角動量算符的對易關(guān)系為基礎(chǔ)，不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示。給定了j之后，本征函數(shù)組1

張開成一個 2j+1 維的函數(shù)空間。

現(xiàn)在給定兩個量子數(shù)j1和j2，則其本征函數(shù)組張開的空間分別有 2j1+1 維 與 2j2+1 維?，F(xiàn)考慮這兩個函數(shù)空間的張量積：

下面為簡便起見，定義新的記號

一般地，若f,g分別是這兩個空間里的算符，則在積空間上可以定義下列算符：

另一方面，定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中，只需取

其中 1 表示恒等操作（算符）。

在這樣的定義下，兩個角動量算符的的耦合表達(dá)為：

容易驗證這樣定義的j滿足角動量的基本對易關(guān)系，因此是一個角動量算符，稱為總角動量算符。

根據(jù)角動量的一般理論，總角動量算符也有自己的本征函數(shù)組，它可以用積空間里的基來表示

這里的線性組合系數(shù)

就被稱為克萊布希－高登系數(shù)。在正交歸一性的要求下，克萊布希－高登系數(shù)仍然具有相位不確定性。本文中取 Condon-Shortle 慣例，使所有克萊布希－高登系數(shù)為實數(shù)。

例子以 為例。

對任意一個算符 f，本節(jié)中的矩陣元表示 的值。

計算最后一個矩陣的本征值和本征向量，得到

于是可到克萊布希－高登系數(shù)。從上面的例子可以看到，對于一般的情況，用矩陣來求克萊布希－高登系數(shù)將是十分繁瑣的。一般可以采用下面的 Racah 表達(dá)式計算，更多的情況是直接查表。

Racah 表達(dá)式Racah 用代數(shù)方法得出了克萊布希－高登系數(shù)的有限級數(shù)表達(dá)式。2

其中，ν的求和限制在使得所有的階乘因子中的數(shù)非負(fù)的范圍內(nèi)。

對稱性克萊布希－高登系數(shù)有下列的對稱性

其他關(guān)系克萊布希－高登系數(shù)與維格納 3-j符號有下列關(guān)系：

后者可以用于計算下列形式的球諧函數(shù)積分：

由球諧函數(shù)的正交歸一性，上面的結(jié)果也可以用來對球諧函數(shù)作展開。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所