[科普中國]-時(shí)間序列修勻

時(shí)間序列修勻也稱時(shí)間序列平滑。在現(xiàn)實(shí)生活中的時(shí)間序列由于受各種因素的影響，看起來常常表現(xiàn)為不規(guī)則的數(shù)字排列。早期很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家都試圖找出影響時(shí)間序列的各種因素，將時(shí)間序列進(jìn)行分解，進(jìn)而找出時(shí)間序列變動的規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測，時(shí)間序列修勻就是消除時(shí)間序列中的偶然變動，使其呈現(xiàn)出趨勢變動的一種方法。常用的方法有移動平均法，加權(quán)移動平均法等。當(dāng)要消除季節(jié)變動的影響時(shí)就要采取各種不同的移動平均方法1。

基本介紹對于時(shí)間序列中的擾動性，采取某種方法予以消除，就能較為清晰地顯示長期趨勢的傾向。這種方法我們稱之為修勻法，也就是我們常說的對“噪聲”的濾波2。

為了離析和測定時(shí)間序列中的趨勢變動，需要排除季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動等因素的影響。通過對時(shí)間序列的“修勻”可以達(dá)到這一目的，修勻的方法主要有時(shí)距擴(kuò)大法、移動平均法和指數(shù)平滑法等。

時(shí)間序列修勻的常見方法時(shí)距擴(kuò)大法這是最簡單的時(shí)間序列修勻方法，其要點(diǎn)是：通過適當(dāng)擴(kuò)大原時(shí)間序列中各項(xiàng)發(fā)展水平的時(shí)間范圍，合并計(jì)算新指標(biāo)值，消除隨機(jī)波動和其他非趨勢變動，凸顯長期趨勢。例如，將月(季)度時(shí)間序列合并為年度時(shí)間序列，或?qū)⒛甓葧r(shí)間序列合并為三年、五年的時(shí)間序列，等等。

由于偶然性因素的影響具有持續(xù)時(shí)間短、方向不確定等特點(diǎn)，季節(jié)變動具有相對確定的周期性，因而適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大時(shí)距、合并指標(biāo)大體能夠?qū)⑵湎５硪环矫?，擴(kuò)大時(shí)距后的時(shí)間序列項(xiàng)數(shù)將成倍減少，造成信息的損失，這在一定程度上影響到分析的效果。

應(yīng)用時(shí)距擴(kuò)大法還需注意：該法既可用于時(shí)期序列，也可用于時(shí)點(diǎn)序列和其他派生序列，但兩者合并指標(biāo)的方法有所不同。一般說，時(shí)期序列可用簡單加總的方法合并指標(biāo)；時(shí)點(diǎn)序列等就不行，因?yàn)樗鼈儾痪呖杉有?，?yīng)該采用適當(dāng)?shù)男驎r(shí)平均方法合并指標(biāo)。當(dāng)然，時(shí)期序列也可考慮序時(shí)平均2。

移動平均修勻移動平均法是時(shí)間序列修勻的基本方法，主要用于消除原序列中的不規(guī)則變動和周期性波動，以分解出原序列中的長期趨勢，有時(shí)還可用以進(jìn)行簡單的預(yù)測。

移動平均是指對原序列按選定的移動步長n=2k+1，逐次計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，并形成一個新的序列。新序列比原序列少2k個項(xiàng)數(shù)。但由于消除了原序列中不規(guī)則變動的影響，使得按其繪成的曲線更平滑，從而呈現(xiàn)出原序列的長期趨勢。

設(shè)有時(shí)間序列定義:

式中為移動平均數(shù)，t為移動間隔。

新序列與原序列的對應(yīng)關(guān)系為：第一項(xiàng)對應(yīng)于時(shí)刻1，2，...，n的中間時(shí)刻；第二項(xiàng)對應(yīng)2，3，...，n+1的中間時(shí)刻，其余類推。

當(dāng)一時(shí)間序列被分解為長期趨勢和其余因素(如季節(jié)變動和隨機(jī)因素等)兩部分時(shí)，即:

如果呈線性狀態(tài)，Ut僅表現(xiàn)為隨機(jī)因素而且其方差較小，則就是的優(yōu)良估計(jì)：

經(jīng)過修勻的時(shí)間序列由于其精確估計(jì)值的測度因子縮小了它的剩余標(biāo)準(zhǔn)差，因此移動步長n=2k+1的取值越大，估計(jì)越準(zhǔn)確；但是反過來，由于步長過長而使修勻的曲線越短，那么估計(jì)的偏差越大。

移動平均是修勻趨勢線的基本方法，它通過簡單的計(jì)算便能消除原序列中的周期性波動和不規(guī)則變動影響，而使原序列顯得平滑。但必須注意：采用這種方法之所以能輕而易舉地得到一條平滑的曲線，正是因?yàn)槭窃蛄兄写嬖谥环N幾乎保持相同周期或振幅的有規(guī)則的循環(huán)變動。原因是在每一次循環(huán)中，有一半的數(shù)據(jù)在循環(huán)中點(diǎn)的上半部，另一半在循環(huán)中點(diǎn)的下半部。通過平均就能使上下兩部的數(shù)據(jù)差異相互抵銷。如果上下兩部分的數(shù)據(jù)個數(shù)不相等，當(dāng)循環(huán)中點(diǎn)上半部的數(shù)據(jù)多于下半部時(shí)就會使整個曲線上移；反之，當(dāng)循環(huán)中點(diǎn)下半部的數(shù)據(jù)多于上半部時(shí)，就會使整個曲線產(chǎn)生下移，從而造成一種假象而將分析人員引入歧途。這樣，在應(yīng)用移動平均修勻時(shí)，就必須弄清楚原序列是否存在有規(guī)律的循環(huán)周期，每個周期的長度是多少?然后才能運(yùn)用它取得較為有效的結(jié)果2。

指數(shù)平滑修勻?qū)r(shí)間序列修勻的另一種較為有效的方法是指數(shù)平滑法。這種方法的特點(diǎn)是需要的資料少、計(jì)算簡單、時(shí)間加權(quán)按歷史資料對未來的影響程度確定，因而在經(jīng)濟(jì)管理分析中應(yīng)用十分廣泛。

這種方法要求時(shí)間序列被判明不存在循環(huán)波動和季節(jié)變動的影響?，F(xiàn)設(shè)原序列為無限序列，即對它加權(quán)平均，有:

式中，。

若設(shè)。

則當(dāng)時(shí)有：

若平均值為，則有:

式中，稱作平滑常數(shù)，反映了修正幅度的大小；稱作t期的平滑修勻值，它受兩部分因素影響，一是本期觀察值，另一是上期的平滑值。如果取值較大，接近于1，那么本期觀察值對平滑值的影響就大；反之，取值較小，接近于0，那么本期觀察值對平滑值的影響就小，但前期觀察數(shù)據(jù)對平滑值影響就大。所以，實(shí)際上起了“權(quán)”的作用。因此，的職能范圍，一般來說，當(dāng)時(shí)間序列呈現(xiàn)不規(guī)則波動，但長期趨勢接近一個穩(wěn)定的常數(shù)時(shí)，可取較小值(較接近0)，這樣時(shí)間序列的各個觀察值按時(shí)間由遠(yuǎn)到近緩慢減弱，即離平滑期越近的觀察值對平滑值的影響越小；當(dāng)時(shí)間序列波動不大，長期趨勢較緩慢時(shí)，的取值可稍大些(接近0. 5)，使整個時(shí)期的觀察值對平滑值的影響均等；如果時(shí)間序列的波動較大，各個時(shí)期的長期變動趨勢較快速而且明顯時(shí)，宜選較大的值(接近于1)以充分發(fā)揮近期的觀察值的影響作用。

各種情況下，的取值范圍據(jù)經(jīng)驗(yàn)列表如表12。

|| || 表1 平滑常數(shù)α的取值范圍

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所