[科普中國]-穩(wěn)態(tài)模型

隨著控制階層往上移動，控制信號修正的頻率便會降低。在每次重新計算之前，模型運(yùn)算得到的變量保持不變，直至重新計算時此變量立即成為新值，這樣的模型稱為穩(wěn)態(tài)模型。它們有時加上一些約束條件，變化有規(guī)定的限值或變化速率有規(guī)定的限值，不能超出。這些約束可以直接表現(xiàn)于模型中，或?qū)^程變量作一些限制，即使運(yùn)算結(jié)果要求，也不可能繼續(xù)移動。

穩(wěn)態(tài)模型用于常規(guī)控制器級，經(jīng)常用于求取控制器的設(shè)定值，而控制器測量值則是動態(tài)多輸入計算得到的變量，如反應(yīng)器生產(chǎn)率，分餾塔的回流量和采出速率，這些在“單元操作控制”中有所描述。

穩(wěn)態(tài)模型概念和建模方法任何系統(tǒng)在不同的運(yùn)行條件下，其運(yùn)行狀態(tài)都會有所不同，一般可以分為靜態(tài)運(yùn)行和動態(tài)運(yùn)行兩類。所謂靜態(tài)運(yùn)行，就是指系統(tǒng)已穩(wěn)定運(yùn)行在某種工作狀態(tài)，其參數(shù)保持不變，系統(tǒng)各變量經(jīng)過一定時間的調(diào)整，已經(jīng)按照某一規(guī)律在有序地變化；而動態(tài)運(yùn)行則是指系統(tǒng)運(yùn)行條件或參數(shù)改變后，系統(tǒng)從一個穩(wěn)態(tài)達(dá)到另一個穩(wěn)態(tài)的過渡過程。

根據(jù)自動控制原理，在靜態(tài)條件下，描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的代數(shù)方程稱為系統(tǒng)的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型，可用來分析系統(tǒng)的靜態(tài)特性；而描述系統(tǒng)變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程稱為系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，用來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。

通常，對于線性定常系統(tǒng)一般采用古典控制理論，建立被控對象的微分方程，然后通過拉普拉斯變換，轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，進(jìn)而在頻域進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計。對于時變或非線性系統(tǒng)，因其參數(shù)隨時間變化或變量是非線性的，使系統(tǒng)建模、分析和設(shè)計較為困難。往往采用穩(wěn)態(tài)工作點附近微偏線性化方法，忽略其參數(shù)變化，建立一個近似的線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型來簡化處理。

在電力傳動系統(tǒng)中，對于他勵直流電動機(jī)，因電路簡單且變量少，比較容易建立其數(shù)學(xué)模型；而對于交流電動機(jī)，因具有多變量、非線性和強(qiáng)耦合的特征，則難以建模與控制。本章以電力傳動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)等效電路為基礎(chǔ)，建立系統(tǒng)電壓平衡方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動方程，由此建立系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型。

對于直流調(diào)速系統(tǒng)，直流電動機(jī)的建模比較簡單，就是直接從直流電動機(jī)的穩(wěn)態(tài)等效電路出發(fā)，根據(jù)電路的基爾霍夫第一定律（KCL）和基爾霍夫第二定律（KVL），列寫電動機(jī)繞組的電壓平衡方程、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩方程及其運(yùn)動方程。

對于交流調(diào)速系統(tǒng)，也是由穩(wěn)態(tài)等效電路，在穩(wěn)態(tài)工作點附件微偏線性化來建立其近似動態(tài)模型。由于該模型是在穩(wěn)態(tài)工作點上建立的，只能描述該點的工作狀態(tài)，因而稱為“穩(wěn)定工作點模型”或“穩(wěn)態(tài)特性模型”，簡稱“穩(wěn)態(tài)模型”。1

穩(wěn)態(tài)模型的建立本次的計算忽略了泡沫的合并現(xiàn)象并引入下列假設(shè)：

1．系統(tǒng)保溫良好，故忽略溫度變化的影響；

2．泡沫群內(nèi)氣泡的形狀為Kelvin（十四面體）型；

3．不考慮熔體內(nèi)氣體的擴(kuò)散引起的泡沫行為的變化；

4．由于吹氣法工藝過程的連續(xù)性，故可用穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型來描述這一過程。2

在閉孔多面體泡沫中，Plateau邊界間由液膜和節(jié)點相連接。在二維情況下，泡沫群中Plateau邊界的橫截面面積A（x，y）、單位體積內(nèi)的Plateau邊界長度與體積比λ（x，y）是坐標(biāo)x和y的函數(shù)，φ1=λA，φ1為液體體積分?jǐn)?shù)，即含液率。在Kelvin（十四面體）型泡沫體內(nèi)：

λ=5√3/(1.618×π×R2)

上式中，R氣泡的等效半徑。

現(xiàn)對任意的一條Plateau邊界內(nèi)的液體流動進(jìn)行分析，由質(zhì)量守恒定律：

а(φ1u1)/аx +а(φ1v1)/аy=0（式1）

上式中u1、v1分別是液體水平方向x和垂直方向y上的速度。Plateau邊界的橫截面面積采用下列公式計算：

A =（√3-π/2）×r2

上式令C=√(√3-π/2)，則A =C2r2

對泡沫析液現(xiàn)象的研究一般僅考慮重力和毛細(xì)管力作用下的析液過程。然而，對流動泡沫，就不得不考慮氣體運(yùn)動對析液的影響。二維穩(wěn)態(tài)的情況下，對于任意一條Plateau邊界，忽略慣性力，由力平衡原理：

Fx，毛細(xì)管力 +Fx，氣體阻力 =0

Fx，毛細(xì)管力+Fy，重力+Fy，氣體阻力 =U

其中，F(xiàn)x，毛細(xì)管力=-Cγ/2A-1.5аA/аx，F(xiàn)y，毛細(xì)管力 =-Cγ/2A-1.5аA/аy

上式中γ為熔體的表面張力。氣體阻力則由以下公式計算：

Fx，氣體阻力 =-150×μ×（u1-ug）/A，F(xiàn)y，氣體阻力 =-150×μ×（v1-vg）/A

上式中，μ表示熔體的黏度，ug和vg表示氣體速度的水平分量和垂直分量，從而得到式1可轉(zhuǎn)化為：2

穩(wěn)態(tài)模型的推導(dǎo)除了可以用來分析電機(jī)的瞬態(tài)行為，還可以用來得到電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行在穩(wěn)態(tài)時，電壓、電流和磁鏈等變量都為正弦波。雖然通過其他方法也可以得到電機(jī)的穩(wěn)態(tài)模型，而通過動態(tài)方程得到穩(wěn)態(tài)模型的方法，強(qiáng)調(diào)了電機(jī)穩(wěn)態(tài)行為只是電機(jī)動態(tài)行為的一個特例。在推導(dǎo)過程中，可以體會到坐標(biāo)變換理論的重要作用，從而對理解穩(wěn)態(tài)模型的推導(dǎo)過程是非常有益的。在推導(dǎo)前，先從物理學(xué)的角度簡要地回顧一下，由正弦電壓供電的感應(yīng)電機(jī)具有的特性。當(dāng)電機(jī)的定子繞組由對稱的三相正弦電壓供電時，產(chǎn)生定子電流和磁場。三相定子磁場相互作用，建立起在氣隙中恒速旋轉(zhuǎn)的合成磁場。合成磁場切割短路的轉(zhuǎn)子繞組（或連接有外部回路的轉(zhuǎn)子繞組），在轉(zhuǎn)子中，產(chǎn)生感應(yīng)電壓，進(jìn)而產(chǎn)生轉(zhuǎn)子電流。根據(jù)Lenz 定律，感應(yīng)出的轉(zhuǎn)子電流阻礙磁場變化，產(chǎn)生的電機(jī)轉(zhuǎn)矩，帶動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的方向與合成磁場的旋轉(zhuǎn)方向同向，以降低轉(zhuǎn)子回路中磁鏈的變化率。與靜止時相比，在旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子繞組中的磁鏈變化率變小，其中的感應(yīng)電壓（感應(yīng)電流）的幅值和頻率均變小。

現(xiàn)考慮正弦電壓供電的感應(yīng)電機(jī)，定子電壓（和電流）角頻率為ωe=2πfe，其中，fe是線電壓頻率。合成旋轉(zhuǎn)磁場的電角速度為ωerad/s。假設(shè)轉(zhuǎn)子的電角速度為ωrrad/s，定義一個同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，定子繞組是靜止的，那么其中的各變量在空間中也是靜止的，頻率為ωe。這些變量變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對于定子的旋轉(zhuǎn)速度為W。轉(zhuǎn)子繞組是旋轉(zhuǎn)的，其中的各變量（例如：電壓、電流）在空間中也是旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)速為ωr，頻率為ωe -ωr，這些變量變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度為ωe -ωr。

可以看出，同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對于定子和轉(zhuǎn)子的電角速度，分別與定子和轉(zhuǎn)子變量的電角頻率相同。假設(shè)定子變量和轉(zhuǎn)子變量都為正弦量（頻率不同），那么變換后的qd0分量則是不變的常值。因此，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，qd0域磁鏈的微分為0，注意在最后得到的穩(wěn)態(tài)方程中，出現(xiàn)了頻率為ωe的阻抗。3

應(yīng)用三維穩(wěn)態(tài)模型的最大優(yōu)點是能反映污染物傳輸?shù)目臻g連續(xù)性，特別是垂直方向的連續(xù)性。因為它不需要進(jìn)行空間離散求數(shù)值解，而是通過求解析解得到任意空問點處的污染物的濃度，這是二維動態(tài)方程辦不到的（特別是求解垂直方向任意點污染物的濃度）。但由于求三維穩(wěn)態(tài)方程解析解的前提是污染物濃度分布達(dá)到穩(wěn)定狀況，不隨時間的變化而變化，因此該三維穩(wěn)態(tài)模型不能反映污染物濃度的時間變化過程，這種時間上的非連續(xù)性的缺陷，使該模型不能反映受潮汐影響的水域中污染物的輸運(yùn)過程。

通過二維動態(tài)模型與三維穩(wěn)態(tài)模型優(yōu)缺點比較，兩模型具有很大的互補(bǔ)性，即二維動態(tài)模型具有很好的時間連續(xù)性，卻夸大了排污口近區(qū)的稀釋作用；三維穩(wěn)態(tài)模型能反映近區(qū)污染物的垂直分布規(guī)律，但不適合受潮汐影響水域所要求的時間連續(xù)性。事實上，污染物在近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)的輸移是相互關(guān)聯(lián)的。因此，可以將上述兩種模型結(jié)合起來，可同時反映污染物輸運(yùn)的時間連續(xù)性和垂直方向的空間連續(xù)性，最終達(dá)到客觀地再現(xiàn)污染物的遷移擴(kuò)散過程。此模型的比較分析有利于完善水質(zhì)模型在實際應(yīng)用中的應(yīng)用價值，同時為科學(xué)研究提供了科學(xué)的依據(jù)。

可以從過程設(shè)計數(shù)據(jù)，理論關(guān)系式和由過程操作或仿真得來的實驗信息巾推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)方程或模型。從設(shè)計到理論信息推導(dǎo)模型，一個毛病是有時包括過多的細(xì)節(jié)因素。另一方面若單獨(dú)依靠實驗數(shù)據(jù)可能得不到，一些重要的關(guān)系式，這是因為在車間的工廠規(guī)模的設(shè)備上進(jìn)行確定的實驗有困難。在理論和實驗方法間的一個很好的折衷方法是采用仿真技術(shù)建立穩(wěn)態(tài)模型。4

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王寧 - 副教授 - 西南大學(xué)