[科普中國]-李普希茨

李普希茨（Lipschitz,Rudolf Otto Sigismund 1832.5.14—1903.10.7）是德國數學家。生于柯尼斯堡，卒于波恩。1847年入柯尼斯堡大學，不久轉入柏林大學跟隨狄利克雷學習數學，19歲(1851年)時就獲得博十學位。1864年起任波恩大學教授。先后當選為巴黎、柏林、格丁根、羅馬等科學院的通訊院士。李普希茨在數論、貝塞爾函數論、傅立葉級數、常微分方程、分析力學、位勢理論及微分幾何學等方面都有貢獻。1873年，提出了著名的“李普希茨條件”，對柯西提出的微分方程初值問題解的存在唯一性定理作出改進，得到柯西—李普希茨存在性定理。他的專著《分析基礎》(1877—1880)從有理整數論到函數理論做了系統闡述。在代數數論領域，他引進相應的符號表示法及其計算法則，建立起被稱為“李普希茨代數”的超復數系。在微分幾何方面，他自1869年起對黎曼關于n維流形的度量結構的工作作出進一步闡述和推廣，開創(chuàng)了微分不變量理論的研究，因此被認為是協變微分的奠基人之一。他的工作后來被里奇有效地用于張量分析1。

基本介紹李普希茨是德國數學家、物理學家。主要研究數學分析、數論、微分方程、多維幾何、力學和物理。1859年，他發(fā)表了關于借助線積分給出貝塞爾函數的漸近展開式的嚴格研究。1864年，在研究傅立葉級數收斂性時，給出了以他的姓命名的充分條件。1876年，他改進了柯西關于常微分方程存在定理的條件?，F在這一條件就被稱為李普希茨條件。他對n維空間的子空間給出了一些新的結果。他還是微分不變量研究的創(chuàng)始人之一，在其工作中已出現了共變微分這種運算2。

R.(O.S.)李普希茨(1832-1903年)的數學研究涉及數論、貝塞爾函數論、傅里葉級數論、常微分方程、分析力學、位勢理論及黎曼微分幾何，其中在微分方程和微分幾何方面尤為突出。1873年他對A.-L.柯西提出的微分方程初值問題解的存在惟一性定理作出改進，提出著名的“李普希茨條件”。存在性定理的證明有力地推進了對微分方程定性理論以及解的近似計算的研究。

李普希茨被認為是(G.F.)B.黎曼事業(yè)的繼承者之一。黎曼于1854年系統地闡述了高維流形微分幾何的主要內容，并于1868年發(fā)表了研究n維流形的度量結構的文章。1869年起李普希茨對黎曼的思想作出進一步闡述和推廣，其中對n維黎曼流形的子流形性質以及對微分不變量的研究，取得了開創(chuàng)性的成果。他還是最早使用共變微分研究微分不變量的人，這個概念后來被G.里奇有效地用于張亮分析3。

李普希茨條件概念介紹李普希茨條件(Lipschitz condition)亦稱赫爾德條件，是限制函數增量變化大小的一種不等式形式的條件。若 是區(qū)間 上的函數，存在正的常數L和 ，使得只要 ，就有

則函數 稱為在區(qū)間 上滿足α階李普希茨條件，或稱為I上的α階李普希茨函數，記為f∈Lipα(I)或f∈Λα(I)。對任意 ，α階李普希茨函數都是連續(xù)函數。特別地，屬于Lip1的函數為絕對連續(xù)函數，因而除去一個勒貝格零測度集之外處處可微。一階李普希茨條件是李普希茨(Lipschitz，R.(O.S.))于1864年研究傅里葉級數的收斂判別法時引進的.不少作者把一階李普希茨條件稱為李普希茨條件。1876年，他把它用于微分方程有惟一解問題的討論。的α階李普希茨條件其實是赫爾德引進的，所以又稱為α階赫爾德條件。

相關分析1．設 為一函數，k為一正常數，若對于點 之鄰域中的所有點x，都有

則稱 在點滿足李普希茨條件。

2．設 為定義在 上的函數，k為一正常數， 若對于中任意兩點，都有

則稱在區(qū)間上滿足李普希茨條件。

若函數在上滿足李普希茨條件，則該函數在上必為絕對連續(xù)函數。換言之，絕對連續(xù)為李普希茨條件之必要條件，而李普希茨條件為絕對連續(xù)之充分條件。

若函數在上之任一點均有連續(xù)導數， 則該函數在上必滿足李普希茨條件。換言之， 有連續(xù)導數是李普希茨條件之充分條件，而滿足李普希茨條件是有連續(xù)導數之必要條件。

3．設為一函數，k為一正常數，若對于點鄰域中之所有點x，都有

則稱在點滿足p次李普希茨條件。

4．設為定義在上的函數，k為一正常數， 若對于上之任意兩點，都有

則稱該函數在上滿足p次李普希茨條件。

顯然，1，2分別是3，4當p=1時之特例。

本詞條內容貢獻者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學