[科普中國]-李括號

李括號亦稱換位子，黎曼幾何中的一種運算。李括號即從兩個 Cr 向量場得出一個新 Cr-1 向量場的一種運算。

簡介李括號亦稱換位子，黎曼幾何中的一種運算。

李括號即從兩個 Cr 向量場得出一個新 Cr-1 向量場的一種運算。

它可看成 ??r(M)×??r(M) 到??r-1(M) 的映射： 。使用局部坐標(biāo)表示：

若

則

從而， 是 向量場。 稱為向量場 X 和 Y 的李括號，也稱為泊松括號。

性質(zhì)李括號具有以下性質(zhì)：

1、滿足反交換律；

2、R 雙線性；

3、滿足雅可比恒等式：( X,Y,Z∈??r(M),2≤r)

因此，以 [ , ] 作為乘法，??∞(M) 成為一個李代數(shù)。李括號由此得名。1

李括號和抽象指標(biāo)李括號是一個這樣的映射，它作用于李代數(shù)中的兩個矢量，結(jié)果還是李代數(shù)中的一個矢量，用張量的觀點，里括號就是這個李代數(shù)上的一個 (1,2) 型張量，所以用抽象指標(biāo)寫出來就是。

如果給李代數(shù)選好基底，那么這個張量C就有分量，這些分量就是常數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)

希臘字母是編號指標(biāo)，可以取12345...。英文字母是抽象指標(biāo)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)