[科普中國]-凱勒結(jié)構(gòu)

凱勒結(jié)構(gòu)，也稱凱勒流形。在數(shù)學(xué)中，一個(gè)凱勒流形（K?hler manifold）是具有滿足一個(gè)可積性條件的酉結(jié)構(gòu)（一個(gè)U(n)-結(jié)構(gòu)）的流形。特別地，它是一個(gè)黎曼流形、復(fù)流形以及辛流形，這三個(gè)結(jié)構(gòu)兩兩相容。

簡(jiǎn)介在數(shù)學(xué)中，一個(gè)凱勒流形（K?hler manifold）是具有滿足一個(gè)可積性條件的酉結(jié)構(gòu)（一個(gè)U(n)-結(jié)構(gòu)）的流形。特別地，它是一個(gè)黎曼流形、復(fù)流形以及辛流形，這三個(gè)結(jié)構(gòu)兩兩相容。

這個(gè)三位一體結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于將酉群表示為一個(gè)交集：

若沒有任何可積性條件，類似的概念是一個(gè)殆埃爾米特流形。如果辛結(jié)構(gòu)是可積的（但復(fù)結(jié)構(gòu)不要求），則這個(gè)概念是殆凱勒流形；如果復(fù)結(jié)構(gòu)是可積的（但辛結(jié)構(gòu)不要求），則為埃爾米特流形。

凱勒流形以數(shù)學(xué)家埃里?！P勒命名，在代數(shù)幾何中占有重要的地位：它們是復(fù)代數(shù)簇的一個(gè)微分幾何推廣。1

定義帶有一個(gè)埃爾米特度量的流形是殆埃爾米特流形；凱勒流形是帶有滿足一個(gè)可積性條件的埃爾米特度量的流形，它有多種等價(jià)的表述。

凱勒流形可以多種方法刻畫：它們通常定義了具有一個(gè)附加結(jié)構(gòu)的復(fù)流形（或具有附加結(jié)構(gòu)的辛流形，或具有附加結(jié)構(gòu)的黎曼流形）。

可以將這三個(gè)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系總結(jié)為，這里h是埃爾米特形式，g是黎曼度量，i是殆復(fù)結(jié)構(gòu)，而是殆辛結(jié)構(gòu)。

復(fù)流形M上一個(gè)凱勒度量是切叢上一個(gè)埃爾米特度量，滿足一個(gè)有多種等價(jià)刻畫的條件（最幾何的方式是由度量誘導(dǎo)的平行移動(dòng)在切空間上給出復(fù)線性映射）。利用局部坐標(biāo)它規(guī)定如下：如果

是埃爾米特度量，則伴隨的凱勒形式定義為（在差一個(gè)因子i/2 的意義下）

是閉的：即 dω = 0。如果M帶有這樣一個(gè)度量則稱之為凱勒流形。

凱勒流形上的度量局部滿足

對(duì)某個(gè)函數(shù)K，稱為凱勒勢(shì)?？ɡ嚷氏瓤紤]了凱勒流形上的微分幾何問題，特別是典則度量（包括凱勒-愛因斯坦，常數(shù)量曲率凱勒度量和極值度量）的存在性與唯一性問題。丘成桐于七十年代取得了突破性進(jìn)展，近年來此問題取得了數(shù)學(xué)界極其廣泛的關(guān)注，屬于微分幾何中的中心問題之一。

一個(gè)凱勒流形，伴隨的凱勒形式和度量叫做凱勒-愛因斯坦（K?hler-Einstein，有時(shí)也叫愛因斯坦-凱勒）的當(dāng)且僅當(dāng)其里奇張量與度量張量成比例，，對(duì)某個(gè)常數(shù) λ。這個(gè)名稱是為了紀(jì)念愛因斯坦關(guān)于宇宙常數(shù)的考慮。更多細(xì)節(jié)見愛因斯坦流形一文。1

例子復(fù)歐幾里得空間C帶著標(biāo)準(zhǔn)埃爾米特度量是一個(gè)凱勒流形。

環(huán)面C/Λ（Λ 為一完全格）由C上繼承一個(gè)平坦度量，從而是一個(gè)緊致凱勒流形。

黎曼曲面上每個(gè)黎曼度量是凱勒的，因?yàn)棣亻]的條件在（實(shí)）2 維是平凡的。

復(fù)射影空間CP有一個(gè)齊性凱勒度量，富比尼–施圖迪度量。向量空間C上一個(gè)埃爾米特形式定義了GL(n+1,C) 中一個(gè)酉子群；一個(gè)富比尼–施圖迪度量在差一個(gè)位似（整體縮放）的意義下由這樣一個(gè) U(n+1) 作用下的不變性決定；由初等線性代數(shù)，任何兩個(gè)富比尼–施圖迪度量在CP的一個(gè)投影自同態(tài)下是等距的，故無需言明通常就說富比尼–施圖迪度量。

一個(gè)凱勒流形的復(fù)流形上的誘導(dǎo)度量是凱勒的。特別地，任何施坦流形（嵌入C）或代數(shù)簇（嵌入CP）是凱勒型的。這對(duì)它們的分析理論是基本的。

單位復(fù)球體B有一個(gè)凱勒度量叫做伯格曼度量，具有常全純截面曲率。

每個(gè)K3曲面是凱勒的（得自蕭蔭堂的一個(gè)定理）。

凱勒流形的一個(gè)重要子類是卡拉比–丘流形。2

相關(guān)條目殆復(fù)流形

超凱勒流形（Hyper-K?hler manifold）

凱勒–愛因斯坦度量（K?hler–Einstein metric）

Quaternion-K?hler manifold

復(fù)泊松流形

卡拉比–丘流形

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)