[科普中國]-霍奇對偶

數(shù)學(xué)中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇對偶（Hodge dual）由蘇格蘭數(shù)學(xué)家威廉·霍奇（Hodge）引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內(nèi)積空間的外代數(shù)上。

維數(shù)與代數(shù)霍奇星算子在k-形式空間與 (n-k)-形式空間建立了一個對應(yīng)。一個k-形式在這個對于下的像稱為這個k-形式的霍奇對偶。k-形式空間的維數(shù)是

后一個空間的維數(shù)是

又由二項式系數(shù)的對稱性，這兩個維數(shù)事實上相等。兩個具有相同維數(shù)的形式空間總同構(gòu)；但不一定有一種自然或典范的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內(nèi)積和定向，給出了一個特定的同構(gòu)，因此在代數(shù)上這反應(yīng)了二項式系數(shù)的性質(zhì)。這也在k-形式空間上誘導(dǎo)了一個內(nèi)積。“自然”定義意味著這個對偶性關(guān)系在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間V。在這種情形，帕斯卡三角形相關(guān)行是1, 3, 3, 1。

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構(gòu)，一個是V自己，另一個是V中兩個向量的楔積。具體細(xì)節(jié)參見例子一節(jié)。叉積只是三維的特殊性質(zhì)，但霍奇對偶在所有維數(shù)都有效。1

擴張由于一個向量空間上k個變量的交錯線性形式空間自然同構(gòu)于那個向量空間上的k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數(shù)的大部分構(gòu)造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在余切叢的外代數(shù)（即流形上的微分形式）上，可用來從外導(dǎo)數(shù)構(gòu)造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導(dǎo)致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。2

k-向量的霍奇星號的正式定義一個定向內(nèi)積向量空間V上的霍奇星算子是V的外代數(shù)（）上的一個線性算子，是k-向量子空間（） 與 (n-k)-向量子空間（） 之間的線性映射，這里。它具有如下性質(zhì)，這些性質(zhì)完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基我們有

其中是的一個偶排列。

特別是我們有，

星算子的指標(biāo)記法使用指標(biāo)記法，霍奇對偶由縮并一個k-形式與n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標(biāo)得到。這不同于列維-奇維塔符號有一個額外因子 (detg)，這里g是一個內(nèi)積（如果g不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。

從而有

這里 η 是任意一個反對稱k階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內(nèi)積g上升和下降指標(biāo)。當(dāng)然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮并時完全抵消了。

k-向量的內(nèi)積霍奇對偶在k-向量空間上誘導(dǎo)了一個內(nèi)積，即在V的外代數(shù)上。給定兩個k-向量與，有

這里 ω 是正規(guī)化的體積形式。可以證明是一個內(nèi)積，它是半雙線性的，并定義了一個范數(shù)。反之，如果在上給了一個內(nèi)積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義。

本質(zhì)上，V的正交基元素的楔積組成了V的外代數(shù)的一個正交基。當(dāng)霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做

其中是流形的度量。3

對偶性當(dāng)作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結(jié)果是外代數(shù)上一個恒等式。給定n-維空間V上一個k-向量，我們有

這里s與V上內(nèi)積的符號有關(guān)。具體說，s是內(nèi)積張量行列式的符號。例如，如果n= 4 時，若內(nèi)積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則s= -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以s= +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當(dāng)霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內(nèi)積理解為對角形式的度量。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)