[科普中國]-切標(biāo)架叢

一個(gè)光滑流形 M 的切標(biāo)架叢（或簡稱標(biāo)架叢）是與 M 的切叢相伴的標(biāo)架叢。 M 的標(biāo)架叢通常記作 FM 或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果 M 是 n-維的則切叢的秩為 n，所以 M 的標(biāo)架叢是 M 上一個(gè)主 GLn(R) 叢。

標(biāo)架叢數(shù)學(xué)中，標(biāo)架叢（Frame bundle）是一個(gè)與任何向量叢E相伴的主叢。F(E) 在一點(diǎn)x的纖維是Ex的所有有序基或曰標(biāo)架。一般線性群通過基變更自然作用在 F(E) 上，給出標(biāo)架叢一個(gè)主 GLk(R)-叢結(jié)構(gòu)，這里k是E的秩。

一個(gè)光滑流形的標(biāo)架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經(jīng)常稱為切標(biāo)架叢（tangent frame bundle）。1

定義與構(gòu)造設(shè)E→X是拓?fù)淇臻gX上一個(gè)k階實(shí)向量叢。在點(diǎn)x∈X的一個(gè)標(biāo)架是向量空間Ex的一個(gè)有序基。等價(jià)地，一個(gè)標(biāo)架可以視為線性同構(gòu)

在x的所有標(biāo)架集合，記作Fx，所有可逆k×k矩陣組成的一般線性群GLk(R) 在它上面有一個(gè)自然右作用：一個(gè)群元素g∈ GLk(R) 通過復(fù)合作用在p的標(biāo)架上給出一個(gè)新標(biāo)架

GLk(R) 在Fx上這個(gè)作用是自由傳遞的（這是標(biāo)準(zhǔn)線性代數(shù)結(jié)論：存在惟一可逆線性變換將一個(gè)基變?yōu)榱硪粋€(gè)）。作為一個(gè)拓?fù)淇臻gFx同胚于 GLk(R)，但它沒有群結(jié)構(gòu)，因?yàn)闆]有“優(yōu)先的標(biāo)架”?？臻gFx稱為一個(gè) GLk(R)-torsor。

E的標(biāo)架叢，記作 F(E) 或 FGL(E)，是所有Fx的不交并：

F(E) 中每個(gè)點(diǎn)是一個(gè)二元組 (x,p)，其中x是X中一點(diǎn)而p是x處一個(gè)標(biāo)架。存在自然投影π: F(E) →X將 (x,p) 送到x。群 GLk(R) 如上右作用在 F(E) 上。這個(gè)作用顯然是自由的且軌道恰是π的纖維。

標(biāo)架叢 F(E) 可給一個(gè)自然的拓?fù)?，其叢結(jié)構(gòu)由E確定。設(shè) (Ui,φi) 是E的一個(gè)局部平凡化。則對每個(gè)x∈Ui有一個(gè)線性同構(gòu)φi,x:Ex→R。這個(gè)數(shù)據(jù)決定了一個(gè)雙射

由下式給出

有了這個(gè)雙射后，每個(gè)π(Ui) 可賦予Ui× GLk(R) 的拓?fù)洹t F(E) 上的拓?fù)涫怯砂成洇?Ui) → F(E) 余誘導(dǎo)的最終拓?fù)洹?/p>

有了上面所有數(shù)據(jù)后，標(biāo)架叢 F(E) 成為X上一個(gè)結(jié)構(gòu)群為 GLk(R) 的主纖維叢，具有局部平凡化 ({Ui}, {ψi})，可以驗(yàn)證 F(E) 的轉(zhuǎn)移函數(shù)與E的相同。

上面所有工作對光滑范疇也成立：如果E是光滑流形M上一個(gè)光滑向量叢，則E的標(biāo)架叢可賦予M上光滑主叢結(jié)構(gòu)。1

切標(biāo)架叢一個(gè)光滑流形M的切標(biāo)架叢（或簡稱標(biāo)架叢）是與M的切叢相伴的標(biāo)架叢。M的標(biāo)架叢通常記作 FM或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果M是n-維的則切叢的秩為n，所以M的標(biāo)架叢是M上一個(gè)主 GLn(R) 叢。

光滑標(biāo)架M的標(biāo)架叢的局部截面稱為M上的光滑標(biāo)架。主叢橫截定理說M中任何有光滑標(biāo)架的開集U上標(biāo)架叢是平凡的。給定一個(gè)光滑標(biāo)架s:U→ FU，平凡化ψ: FU→U× GLn(R) 由

給出，這里p是x處一個(gè)標(biāo)架。從而一個(gè)流形是可平行化的當(dāng)且僅當(dāng)M的標(biāo)架叢有一個(gè)整體截面。

因?yàn)镸的切叢在M的任何坐標(biāo)鄰域是可平凡化的，故標(biāo)架叢也是。事實(shí)上，給定任何坐標(biāo)鄰域U帶有坐標(biāo) (x,…,x)，坐標(biāo)向量場

定義了U上一個(gè)光滑標(biāo)架。在標(biāo)架叢上工作的一個(gè)好處是它們允許我們處理標(biāo)架而不是坐標(biāo)架；我們可選取對手中問題合適的標(biāo)架。這有時(shí)稱為活動(dòng)標(biāo)架法。

焊接形式流形M的標(biāo)架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質(zhì)上系于M的幾何。這種關(guān)系可用 FM上一個(gè)稱之為焊接形式（或稱基本或重言1-形式）向量值 1-形式表示。設(shè)x是流形M上一點(diǎn)，p是x處一個(gè)標(biāo)架，故

是R與M在x處切叢的一個(gè)線性同構(gòu)。FM的焊接形式是一個(gè)R-值 1-形式θ，定義為

這里ξ與 FM相切于 (x,p)，p:TxM→R是標(biāo)架映射的逆，dπ是投影映射π: FM→M的微分。焊接形式是水平的，它在與π的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即

這里Rg是由g∈ GLn(R) 的左平移。FM上這樣性質(zhì)的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與TM-值 1-形式一一對應(yīng)，從而與M上光滑叢映射TM→TM一一對應(yīng)。這樣看來，θ恰好是TM上恒等映射。2

G-結(jié)構(gòu)參見：G-結(jié)構(gòu)

如果光滑流形M有額外的結(jié)構(gòu)，通常自然地考慮M全標(biāo)架叢的一個(gè)適應(yīng)于給定結(jié)構(gòu)的子叢。例如，如果M是一個(gè)黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮M的標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架叢。標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架叢只不過是 FGL(M) 的結(jié)構(gòu)群到正交群 O(n) 的約化。

一般地，如果M是一個(gè)光滑n-流形，G是 GLn(R) 的一個(gè)子李群，我們定義M上一個(gè)G-結(jié)構(gòu)為 FGL(M) 結(jié)構(gòu)群到G的一個(gè)約化。具體地說，這是M上一個(gè)主G-叢 FG(M)，以及M上一個(gè)G-等變叢映射

在這種語言中，M上一個(gè)黎曼度量給出M上一個(gè) O(n)-結(jié)構(gòu)。下面是其它一些例子。

每個(gè)定向流形有一個(gè)定向標(biāo)架，這就是M上一個(gè) GLn(R)-結(jié)構(gòu)。

M上一個(gè)體積形式確定了M上一個(gè) SLn(R)-結(jié)構(gòu)。

一個(gè) 2n-維辛流形有一個(gè)自然的 Sp2n(R)-結(jié)構(gòu)。

一個(gè) 2n-維復(fù)或殆復(fù)流形有一個(gè)自然的 GLn(C)-結(jié)構(gòu)。

在某些例子中，M上一個(gè)G-結(jié)構(gòu)惟一確定了M上對應(yīng)的結(jié)構(gòu)。例如M上一個(gè) SLn(R)-結(jié)構(gòu)確定了M上一個(gè)體積形式。但是，在某些情形，比如辛與復(fù)流形，需要一個(gè)可積性條件。M上一個(gè) Sp2n(R)-結(jié)構(gòu)惟一確定了M上一個(gè)非退化2-形式，但對M是辛的，這個(gè) 2-形式必須也是閉的。3

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)