[科普中國]-吉洪諾夫空間

在拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，吉洪諾夫空間或完全正則空間是特定優(yōu)良種類的拓?fù)淇臻g。這些條件是分離公理的個例。

吉洪諾夫空間得名于安德列·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫（英語：Andrey Nikolayevich Tychonoff），他的俄語名(Тихонов)也翻譯為 “Tychonov”、“Tikhonov”、“Tihonov”或“Tichonov”。

定義假定X是拓?fù)淇臻g。X是完全正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)給定任何閉集F和任何不屬于F的點x，存在從X到實直線R的連續(xù)函數(shù)f使得f(x)為0和f(y)為1對于所有F中的y。用“空想家”術(shù)語來說，這個條件聲稱x和F可以由函數(shù)分離。X是吉洪諾夫空間或T3?空間或Tπ空間或完全T3空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是完全正則空間和豪斯多夫空間二者。

注意某些數(shù)學(xué)文獻(xiàn)對術(shù)語“完全正則”和涉及“T”的術(shù)語使用了不同的定義。我們這里給出的定義是今天最常用；但是某些作者切換了兩類術(shù)語的意義，或者把它們用做同一個條件的同義詞。在這里，我們直率的使用術(shù)語“完全正則”和“吉洪諾夫”，但避免不太明晰的術(shù)語“T”。在其他文獻(xiàn)中，你應(yīng)該仔細(xì)找出作者使用的是什么術(shù)語。(短語“完全正則豪斯多夫”總是無歧義的意味著吉洪諾夫空間。)

完全正則空間和吉洪諾夫空間通過柯爾莫果洛夫商關(guān)聯(lián)起來的。拓?fù)淇臻g是吉洪諾夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是完全正則空間和T0空間二者。在另一方面，一個空間是完全正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯爾莫果洛夫商是吉洪諾夫空間。1

例子和反例在數(shù)學(xué)分析中研究的幾乎所有拓?fù)淇臻g都是吉洪諾夫空間，或至少是完全正則空間。例如，實直線是在標(biāo)準(zhǔn)歐幾里德拓?fù)湎碌募橹Z夫空間。其他例子包括：

所有度量空間是吉洪諾夫空間；所有偽度量空間是完全正則空間。

所有局部緊致正則空間是完全正則的，因此所有局部緊致豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。

特別是，所有拓?fù)淞餍问羌橹Z夫空間。

所有全序集合帶有序拓?fù)涫羌橹Z夫空間。

所有拓?fù)淙菏峭耆齽t空間。

推廣了度量空間和拓?fù)淙憾?，所有一致空間都是完全正則的。反過來也是真的:所有完全正則空間是可一致化的。

所有CW復(fù)形是吉洪諾夫空間。

所有正規(guī)正則空間是完全正則的，而所有正規(guī)豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。

Niemytzki平面是吉洪諾夫空間但非正規(guī)空間的一個例子。1

性質(zhì)保持完全正則性和吉洪諾夫性質(zhì)關(guān)于始拓?fù)涫潜憩F(xiàn)良好的。特別是，選取任意始拓?fù)浔３滞耆齽t性，選取點分離始拓?fù)浔３旨橹Z夫性質(zhì)?？傻贸?

所有完全正則空間或吉洪諾夫空間的子空間都有相同的性質(zhì)。

非空乘積空間是完全正則(或吉洪諾夫的)，當(dāng)且僅當(dāng)每個函子空間是完全正則(或吉洪諾夫的)。

類似所有分離公理，選取終拓?fù)洳槐３滞耆齽t性。特別是，完全正則空間的商空間不必須是正則空間。吉洪諾夫空間的商空間甚至不必須是豪斯多夫空間。有Moore平面的閉合商作為反例。

實數(shù)值連續(xù)函數(shù)對于任何拓?fù)淇臻gX，設(shè)C(X)指示在X上的實數(shù)值連續(xù)函數(shù)族，并設(shè)C*(X)是有界實數(shù)值函數(shù)的子集。

完全正則空間可以特征化為它們的拓?fù)渫耆_定自C(X)或C*(X)的性質(zhì)。特別是:

空間X是完全正則的，當(dāng)且僅當(dāng)它有引發(fā)自C(X)或C*(X)的始拓?fù)洹?/p>

空間X是完全正則的，當(dāng)且僅當(dāng)所有閉集可以被寫為X中零集合族的交集(就是說零集合形成給X的閉集的基)。

空間X是完全正則的，當(dāng)且僅當(dāng)X的余零集合形成X的拓?fù)涞幕?/p>

給定任意拓?fù)淇臻g(X,τ)有一種普遍方式對(X,τ)關(guān)聯(lián)上一個完全正則空間。設(shè)ρ是在引發(fā)自Cτ(X)的X上的始拓?fù)?，或等價的說，從(X,τ)中的余零集合的基生成的拓?fù)?。則ρ將是比τ粗的X上的最細(xì)完全正則拓?fù)?。這種構(gòu)造是普遍性的，在任何到完全正則空間Y的連續(xù)函數(shù)

都將在(X,ρ)上連續(xù)的意義上。用范疇論的語言，從(X,τ)到(X,ρ)的函子左伴隨于包含函子CReg→Top。因此完全正則空間的范疇CReg是拓?fù)淇臻g范疇Top的反射子范疇。通過選取柯爾莫果洛夫商，可以看出吉洪諾夫空間的子范疇也是反射的。

可以證明在上述構(gòu)造中Cτ(X)=Cρ(X)，所以環(huán)C(X)和C*(X)典型的只在完全正則空間X中研究。

嵌入吉洪諾夫空間完全就是那些可以嵌入到緊致豪斯多夫空間內(nèi)的空間。更精確地說，對于所有吉洪諾夫空間X，存在緊致豪斯多夫空間K使得X同胚于K的一個子空間。

事實上，你總是可以選擇K為立方體(就是說，單位區(qū)間的可能無限乘積)。所有立方體都是緊致豪斯多夫空間是吉洪諾夫定理的一個結(jié)論。因為所有緊致豪斯多夫空間的子空間都是吉洪諾夫空間，所以:

拓?fù)淇臻g是吉洪諾夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它可以被嵌入一個立方體中。

緊致化特別有趣的嵌入是X的像是K中的稠密集；這叫做X的豪斯多夫緊致化。給定任何吉洪諾夫空間X到緊致豪斯多夫空間K的嵌入，X在K中的像的閉包是X的緊致化。

在豪斯多夫緊致化中，有一個唯一“最一般”的，斯通–切赫緊致化βX。它由如下泛性質(zhì)刻畫，給定從X到任何其他緊致豪斯多夫空間Y的連續(xù)映射f，有一個唯一的從βX到Y(jié)連續(xù)映射g擴(kuò)張f，在f是g和j的復(fù)合意義上。

一致結(jié)構(gòu)完全正則性正好是在拓?fù)淇臻g上存在一致結(jié)構(gòu)的必需條件。換句話說，所有一致空間都有完全正則拓?fù)洌型耆齽t空間X是可一致化空間。拓?fù)淇臻g允許分離的一致結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它是吉洪諾夫空間。

給定完全正則空間X通常存在多于一個X上的一致結(jié)構(gòu)相容于X的拓?fù)?。但是，總是有最?xì)一致結(jié)構(gòu)，叫做X的精細(xì)一致結(jié)構(gòu)。如果X是吉洪諾夫空間，則可以選擇一致結(jié)構(gòu)使得βX成為一致空間X的完全。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)