[科普中國]-克羅內(nèi)克函數(shù)

在數(shù)學(xué)中，克羅內(nèi)克函數(shù)（又稱克羅內(nèi)克δ函數(shù)、克羅內(nèi)克δ）是一個二元函數(shù)，得名于德國數(shù)學(xué)家利奧波德·克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克函數(shù)的自變量（輸入值）一般是兩個整數(shù)，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

簡介在數(shù)學(xué)中，克羅內(nèi)克函數(shù)（又稱克羅內(nèi)克δ函數(shù)、克羅內(nèi)克δ） 是一個二元函數(shù)，得名于德國數(shù)學(xué)家利奧波德·克羅內(nèi)克?？肆_內(nèi)克函數(shù)的自變量（輸入值）一般是兩個整數(shù)，如果兩者相等，則其輸出值為1，否則為0。

克羅內(nèi)克函數(shù)的值一般簡寫為 。

克羅內(nèi)克函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)都使用δ作為符號，但是克羅內(nèi)克δ用的時候帶兩個下標(biāo)，而狄拉克δ函數(shù)則只有一個變量。1

其它記法另一種標(biāo)記方法是使用艾佛森括號（得名于肯尼斯·艾佛森）：

同時，當(dāng)一個變量為0時，常常會被略去，記號變?yōu)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/GdCyOdSYMJA4sV4oQ2q4996AdjyAuVLqqTiM.jpg" alt="" /> ：

在線性代數(shù)中，克羅內(nèi)克函數(shù)可以被看做一個張量，寫作 。2

數(shù)字信號處理類似的，在數(shù)字信號處理中，與克羅內(nèi)克函數(shù)等價的概念是變量為 (整數(shù))的函數(shù)：

這個函數(shù)代表著一個沖激或單位沖激。當(dāng)一個數(shù)字處理單元的輸入為單位沖激時，輸出的函數(shù)被稱為此單元的沖激響應(yīng)。

性質(zhì)克羅內(nèi)克函數(shù)有篩選性：對任意 ：

如果將整數(shù)看做一個裝備了計數(shù)測度的測度空間，那么這個性質(zhì)和狄拉克δ函數(shù)的定義是一樣的：

實際上，狄拉克δ函數(shù)是根據(jù)克羅內(nèi)克函數(shù)而得名的。在信號處理中，兩者是同一個概念在不同的上下文中的表現(xiàn)。一般設(shè)定 為連續(xù)的情況（狄拉克函數(shù)） ，而使用i,j,k,l,m, andn等變量一般是在 離散的情況下（克羅內(nèi)克函數(shù)）。

線性代數(shù)中的應(yīng)用在線性代數(shù)中，單位矩陣可以寫作 。

在看做是張量時（克羅內(nèi)克張量），可以寫作 。

這個(1,1)向量表示：作為線性映射的單位矩陣；跡數(shù)；內(nèi)積 ；映射 ，將數(shù)量乘積表示為外積的形式。3

廣義克羅內(nèi)克函數(shù)定義廣義克羅內(nèi)克函數(shù)為 矩陣的行列式，以方程式表達為

其中， 是個張量函數(shù)，定義為 。

以下列出涉及廣義克羅內(nèi)克函數(shù)的一些恒等式：

其中，和是列維-奇維塔符號。

其中，是階張量。3

積分表示對任意的整數(shù)，運用標(biāo)準(zhǔn)的留數(shù)計算，可以將克羅內(nèi)克函數(shù)表示成積分的形式：

其中積分的路徑是圍繞零點逆時針進行。

這個表示方式與下面的另一形式等價：

參見列維-奇維塔符號

狄拉克測度

同或門

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)