[科普中國]-高斯-博內(nèi)定理

在微分幾何中，高斯-博內(nèi)定理（亦稱高斯-博內(nèi)公式）是關(guān)于曲面的圖形（由曲率表征）和拓?fù)洌ㄓ蓺W拉示性數(shù)表征）間聯(lián)系的一項(xiàng)重要表述。它是以卡爾·弗里德里希·高斯和皮埃爾·奧西安·博內(nèi)命名的，前者發(fā)現(xiàn)了定理的一個(gè)版本但從未發(fā)表，后者1848年發(fā)表了該定理的一個(gè)特例。

定理內(nèi)容設(shè)M是一個(gè)緊的二維黎曼流形， 是其邊界。令K為M的高斯曲率， 為 的測地曲率。則有

其中dA是該曲面的面積元，ds是M邊界的線元。此處 是 的歐拉示性數(shù)。

如果 的邊界是分段光滑的，我們將 視作光滑部分相應(yīng)的積分之和，加上光滑部分在曲線邊界上的轉(zhuǎn)過的角度之和。1

一般化的高斯-博內(nèi)定理廣義高斯-博內(nèi)定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立于偶數(shù)維數(shù)的閉黎曼流形。在偶數(shù)維數(shù)的閉黎曼流形，歐拉示性數(shù)仍然可以表達(dá)為曲率多項(xiàng)式的積分。

公式：

這是對(duì)于高維空間的直接推廣。

例如在四維空間：

二維高斯-博內(nèi)定理的操作式證明陳省身大師曾給出高維里高斯-博內(nèi)定理的一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)證明。用指南車也能給出二維高斯-博內(nèi)定理的操作式證明。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)