[科普中國]-博赫納積分

博赫納積分(Bochner integral)是按勒貝格積分方式定義的一種常用的向量值函數(shù)的積分。博赫納積分是勒貝格積分在向量值函數(shù)情形的直接推廣，是由博赫納(S.Bochner)在1932年建立的，這種積分在向量值測度理論、算子理論、概率論、隨機過程以及巴拿赫空間幾何理論等許多數(shù)學(xué)分支中有廣泛的應(yīng)用。

基本介紹設(shè) 是完備的σ有限測度空間， 是定義在Ω上而取值于巴拿赫空間X的向量值函數(shù)：

1.若 是Ω上的可數(shù)值函數(shù)，即

而 是Ω中一列互不相交的可測集，

又

則稱 在Ω上是博赫納可積的，并稱

為 的博赫納積分，記為

即

2.對于一般的強可測函數(shù) ，若它是博赫納可積的可數(shù)值函數(shù)列 的關(guān)于μ幾乎處處強收斂的極限且

則說 在Ω上是博赫納可積的，并規(guī)定 的博赫納積分為

對于博赫納可積函數(shù) ，它的積分值(向量)不依賴于 的選取，博赫納積分是勒貝格積分在向量值函數(shù)情形的直接推廣，是由博赫納(S.Bochner)在1932年建立的，這種積分在向量值測度理論、算子理論、概率論、隨機過程以及巴拿赫空間幾何理論等許多數(shù)學(xué)分支中有廣泛的應(yīng)用，向量值函數(shù) 為博赫納可積的充分必要條件是 強可測，且

博赫納積分具有和勒貝格積分類似的若干基本性質(zhì)，例如，具有線性性、完全可加性、絕對連續(xù)性以及控制收斂定理、富比尼定理均成立，但拉東-尼科迪姆定理不成立，就是說，與通常的抽象測度不同，絕對連續(xù)的向量值測度不一定能表示成博赫納積分1。

集值映射的積分集值映射的積分(integral of setvalued mapping)是單值映射的積分到集值映射情形的推廣，集值映射有多種可積性概念。設(shè) 是測度空間，X是可分巴拿赫空間， 是具非空緊凸值的可測集值映射，記 { 是F的可測單值選擇}。若 為佩蒂斯可積(相應(yīng)地，博赫納可積)，則稱F為佩蒂斯可積(相應(yīng)地，博赫納可積)，且其積分定義為

集值映射的積分現(xiàn)有多種不同的概念。例如，還有下述集值映射的積分概念。設(shè) 是測度空間，X是可分巴拿赫空間， 是具非空閉值的可測集值映射．記 { 是F的可測單值選擇，且 在T上為博赫納可積}與 { 是F的可測單值選擇，且 在T上為佩蒂斯可積}，集值映射F在T上的博赫納積分與佩蒂斯積分分別定義為

與

其中

與

分別表示f在T上的博赫納積分與佩蒂斯積分。

博赫納博赫納(1899-1982，Bochner，Salomon)是美國數(shù)學(xué)家。1899年8月20日生于奧匈帝國的克拉科夫(現(xiàn)屬波蘭)；1982年5月2 日卒于美國休斯頓。就學(xué)于柏林大學(xué)，1921年獲博士學(xué)位。1924-1926年在哥本哈根大學(xué)、劍橋大學(xué)、牛津大學(xué)邊學(xué)習(xí)邊工作。1927-1933 年任慕尼黑大學(xué)講師。1933 年到美國普林斯頓大學(xué)任副教授，1938 年人美國籍，1946 年晉升為教授，1968 年退休。1968年以后任賴斯大學(xué)教授，并任數(shù)學(xué)系系主任多年。1950年被選為美國全國科學(xué)院院士。1957-1958 年任美國數(shù)學(xué)會副主席。

博赫納在概率論、傅里葉分析、多復(fù)變函數(shù)、調(diào)和分析、復(fù)流形、復(fù)變及概周期函數(shù)等領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)。

20世紀(jì)20 年代初，H·玻爾給出了一類概周期函數(shù)，但取和方法相當(dāng)復(fù)雜，博赫納很快就建議玻爾采用簡單許多的博赫納-費耶爾過程。博赫納還用拓?fù)渚o致性性質(zhì)使玻爾函數(shù)特征化，后來馮·諾伊曼用此把概周期函數(shù)從歐氏空間推廣到了一般群。1932 年他又給出了博赫納積分，即巴拿赫空間元素的函數(shù)的勒貝格積分；并很快引入了玻爾函數(shù)的相應(yīng)推 廣一“抽 象” 概 周 期 函 數(shù)。1961年博赫納又引人了比玻爾函數(shù)更一般的概自守函數(shù)。

博赫納在1932 年給出了博赫納正定函數(shù)定理，即連續(xù)復(fù)值函數(shù)能表示成傅里葉-斯蒂爾杰斯積分，其中，當(dāng)且僅當(dāng)對任意有限點,，和復(fù)常數(shù)時才成立。這一判別準(zhǔn)則在概率論中有不少應(yīng)用，而且還可應(yīng)用于希爾伯特空間自伴算子譜表示的推導(dǎo)中，并已被推廣運用到了拓?fù)淙嚎臻g的函數(shù)。

博赫納是施瓦爾茨廣義函數(shù)理論的先驅(qū)者。他引入了函數(shù)的廣義傅里葉變換。1936年，他還首先引入了多重傅里葉級數(shù)的球形和，現(xiàn)已成為多重傅里葉展開的收斂問題和逼近問題的重要工具。

在多復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域，1943年他用“博赫納-馬丁內(nèi)利核”證明了“對于具連通邊界的有界域，邊界上的全純函數(shù)可以延拓到該域的整個內(nèi)部”這一哈托格斯的關(guān)鍵性定理。1938年，他證明了管的正則包絡(luò)也是管，包絡(luò)管的基是原來管的基的凸閉包。

在概率論領(lǐng)域，博赫納在1946年引入了一類一般形式的隨機過程的傅里葉變換，把加性集函數(shù)隨機化，不僅得到三維納微分空間，而且還得到了同類型的其他平穩(wěn)過程。

博赫納因?qū)Ω怕收?、傅里葉分析、多復(fù)變函數(shù)等領(lǐng)域的貢獻(xiàn)及影響，而于1979 年獲美國數(shù)學(xué)會的斯蒂爾獎。他著有《多復(fù)變量》(Several ComplexVariables，1948；與W.T.馬丁合作)、《調(diào)和分析與概率論》(Harmonic Analysis andtheTheory of Probability，1956)、《曲率和貝蒂數(shù)》(Curvatureand Betti Numbers，1953；與 矢野健太郎合作)和《傅里葉積分》(Fourier Integrals，1959) 等書2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)