[科普中國(guó)]-相合性

相合性(consistence)是一個(gè)估計(jì)量所應(yīng)具備的最基本的性質(zhì)。相合估計(jì)亦稱為一致估計(jì)、相容估計(jì)，估計(jì)量的一種大樣本性質(zhì)為：當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，估計(jì)量可以以任意的精確程度逼近被估計(jì)參數(shù)的真值。按收斂意義不同，可以區(qū)分不同的相合性，常見(jiàn)的有：弱相合估計(jì)、強(qiáng)相合估計(jì)、r階相合估計(jì)，這三種相合性之間的關(guān)系與三種收斂性的關(guān)系是完全一致的1。

基本介紹無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量n固定的前提下提出的，當(dāng)希望隨著樣本容量的增大，一個(gè)估計(jì)量的值能夠穩(wěn)定在待估參數(shù)真值的附近，這就是估計(jì)量的相合性的要求。

設(shè)為的基于樣本的的一個(gè)估計(jì)量，顯然它依賴于樣本n，為表明這種依賴性，可以記之為。隨著樣本量的變化，可得到一列估計(jì)量，一個(gè)自然的希望是，當(dāng)樣本容量無(wú)線增加時(shí)，估計(jì)量能夠依某種意義接近于被估計(jì)量的真值。顯然，這是對(duì)估計(jì)量的起碼要求。相合性就是這樣的一個(gè)要求。2

弱相合估計(jì)簡(jiǎn)稱“相合估計(jì)”。稱為的弱相合估計(jì)，如果依概率收斂于，即當(dāng)n充分大時(shí)，有。

強(qiáng)相合估計(jì)稱為的強(qiáng)相合估計(jì)，如果以概率1收斂于，即當(dāng)n充分大時(shí)，有。

r階相合估計(jì)稱為的r階相合估計(jì)，如果r階收斂于，即當(dāng)n充分大時(shí)，有。特別，當(dāng)r=2時(shí)，稱為的均方相合估計(jì)。

上述三種相合性之間的關(guān)系與三種收斂性的關(guān)系是完全一致的。上面的定義中，收斂性指對(duì)于任意固定的收斂。假設(shè)相應(yīng)的收斂關(guān)于是一致的，則相應(yīng)的相合性稱做“一致相合性”1。

相關(guān)定理定義定義1 設(shè)為的基于樣本的的一個(gè)估計(jì)量，若對(duì)任意固定的，都滿足：對(duì)于任給的，有

成立，則稱為的相合估計(jì)，上述極限式簡(jiǎn)記為。2

定義2若對(duì)任何固定的都有

則稱為的強(qiáng)相合估計(jì)量，上述式子可簡(jiǎn)記為，這里a.s.為almost surely的縮寫(xiě)。2

式(1)表明隨機(jī)變量序列依概率收斂于，而式(2)即幾乎處處收斂于。由以上定義以及幾乎處處收斂和依概率收斂之間的關(guān)系知，強(qiáng)相合估計(jì)必為相合估計(jì)。

定理1設(shè)在參數(shù)空間上連續(xù)，為的強(qiáng)相合估計(jì)量，i=1,2,...,k，則為的強(qiáng)相合估計(jì)量。2

定理2設(shè)總體有直到k(k≥2)階的矩。可表示為，且G為連續(xù)函數(shù)。記分別為樣本原點(diǎn)矩和樣本中心矩，則為的強(qiáng)相合估計(jì)量。

注意：由該定理可知，矩估計(jì)量一般是強(qiáng)相合的。2

定理3設(shè)分布族滿足：

（1）X是有限集；

（2）對(duì)于不同的參數(shù)值θ和θ’，所對(duì)應(yīng)的分布不同；

（3）有共同支撐，即與θ無(wú)關(guān)；

則對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，θ的最大似然估計(jì)量存在，且為θ的相合估計(jì)量。2

定理4設(shè)分布族滿足：

（1）θ為R（一維實(shí)空間）中的開(kāi)集；

（2）不同的參數(shù)值θ和θ’，所對(duì)應(yīng)的分布不同；

（3）有共同支撐A；

（4）對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)在X上存在，并且當(dāng)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本時(shí)，似然方程有且僅有解，則，即為θ的相合估計(jì)量。2

例題解析例1設(shè)，則是θ的有偏估計(jì)，但它是相合的。

證明：

的密度函數(shù)為，此處為A的示性函數(shù)。故對(duì)任意ε>0，有

可見(jiàn)為θ的相合估計(jì)。

例2設(shè)，證明θ的極大似然估計(jì)是相合的。

**證明：**似然函數(shù)為

故有

可見(jiàn)為θ的嚴(yán)格單調(diào)下降函數(shù)。又因?yàn)?/p>

從而有且僅有一個(gè)解。故似然方程的根必為極大似然估計(jì)量且是相合估計(jì)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)