[科普中國(guó)]-一致收斂判別法

一致收斂判別法是判定函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂的重要方法，其中比較著名的有柯西準(zhǔn)則、魏爾斯特拉斯判別法以及阿貝爾判別法等，它們是數(shù)學(xué)分析中重要的理論基礎(chǔ)。

函數(shù)列及其一致收斂性設(shè)

是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù)，稱為定義在 上的函數(shù)列，簡(jiǎn)記為。

對(duì)于函數(shù)列，我們不僅要討論它在哪些點(diǎn)上收斂，而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)。比如能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性。又如極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分，是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限。對(duì)這些問(wèn)題的討論，只要求函數(shù)列在數(shù)集D上的收斂是不夠的，必須對(duì)它在D上的收斂性提出更高的要求才行，這就是以下所要討論的一致收斂性問(wèn)題。

定義1設(shè)函數(shù)列 與函數(shù) 定義在同一數(shù)集D上，若對(duì)任給的正數(shù) ，總存在某一正整數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 ，都有

則稱函數(shù)列 在D上一致收斂于 ，記作1

由定義可以看到，如果函數(shù)列 在D一致收斂，那么對(duì)于所給的 ，不管D上的哪一點(diǎn) ，總存在公共的 （即N的選取僅與 有關(guān)，與 的取值無(wú)關(guān)），只要 ，都有

由此看到函數(shù)列 在D上一致收斂，必在D上的每一點(diǎn)都收斂。反之，在D上每一點(diǎn)都收斂的函數(shù)列 ，在D上不一定一致收斂。

定理1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)列 在數(shù)集D上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給正數(shù) ，總存在正數(shù)N，使得當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 ，都有

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性設(shè) 是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式

稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為或。稱

為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）的部分和函數(shù)列2。

若，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂，即部分和當(dāng)時(shí)極限存在，則稱級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)收斂，稱為級(jí)數(shù)（2）的收斂點(diǎn)。若級(jí)數(shù)（4）發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)（2）在點(diǎn)發(fā)散。若級(jí)數(shù)（2）在E上某個(gè)子集D上每點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)（2）在D上收斂。若D為級(jí)數(shù)（2）全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則稱D為級(jí)數(shù)（2）的收斂域。級(jí)數(shù)（2）在D上每一點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（4）的和構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)（2）的和函數(shù)，并寫(xiě)作

即

也就是說(shuō)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列（3）的收斂性。

定義2設(shè)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列。若在數(shù)集D上一致收斂于，則稱在上一致收斂于。

定理2（一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切正整數(shù)，都有

或

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法定理3（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集D上， 為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切，有

則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂2。

下面討論定義在區(qū)間上形如

的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法，它與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，也是基于阿貝爾分部求和公式。

定理4（阿貝爾判別法）設(shè)

（i）在區(qū)間上一致收斂；

（ii）對(duì)于每一個(gè)，是單調(diào)一致有界的；

（iii）在上一致有界，即對(duì)一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)M，使得

則級(jí)數(shù)（5）在上一致收斂2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)