[科普中國]-n-維向量空間

在解析幾何中有些事物的性質(zhì)不能用一個數(shù)來刻畫，如一個n元方程組的解是由n個數(shù)組成，而這n個數(shù)作為方程組的解是一個整體，分開來談是沒有意義的，這時我們就需要用n維向量來刻畫方程組的解。在幾何上這樣的例子是很多的，所以n維向量在抽象代數(shù)這一領(lǐng)域的研究中起著很重要的作用。

定義1所謂數(shù)域 上一個 維向量空間就是由數(shù)域 中 個數(shù)組成的有序數(shù)組

稱為上述向量的分量。

幾何上的向量可以認(rèn)為是它的特殊情形，即 且 為實數(shù)域的情形。在 時， 維向量就沒有直觀的幾何意義了。我們所以仍然稱它為向量，一方面固然是由于它包括通常向量作為特殊情形，另一方面也由于它與通常的向量一樣可以定義運算，并且有許多運算性質(zhì)是共同的，因而采取這樣一個幾何的名詞有好處。

下面我們用小寫希臘字母 來代表向量。

定義2如果 維向量

的對應(yīng)分量都相等，即

就稱這兩個向量是相等的，記作 。

維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量乘法表達(dá)的。

定義3向量

稱為向量

的和，記為

由定義立即推出：

交換律：

結(jié)合律：

定義4分量全為零的向量

稱為零向量，記為 ；向量 稱為向量 的負(fù)向量，記為 。

顯然，對于所有的 ，都有

利用負(fù)向量，可以定義向量的減法

定義5設(shè) 為數(shù)域 中的數(shù)，向量

稱為向量 與數(shù) 的數(shù)量乘積，記為 。

由定義立即推出：

上述四個公式是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運算法則。

如果 ，那么

定義6以數(shù)域 中的數(shù)作為分量的 維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域 上的 維向量空間1。

在 時， 維實向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間。

以上已把數(shù)域 上全體 維向量的集合組成一個有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即數(shù)域 上 維向量空間。

向量通常是寫成一行

有時候也可以寫成一列：

為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)