[科普中國(guó)]-全微分表達(dá)式

如果函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量

Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)

可以表示為

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依賴于Δx, Δy，僅與x,y有關(guān)，ρ趨近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此時(shí)稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)（x，y）處可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分，記為dz即

dz=AΔx +BΔy

該表達(dá)式稱為函數(shù)z=f(x, y) 在(x, y)處(關(guān)于Δx, Δy)的全微分的表達(dá)式。

簡(jiǎn)介編輯

為了引進(jìn)全微分的定義，先來(lái)介紹全增量。

全增量設(shè)二元函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)變量x、y點(diǎn)(x,y)處分別有增量Δx，Δy時(shí)函數(shù)取得的增量。

稱為 f (x, y)在點(diǎn)(x,y)的全增量。

全微分如果函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x,y)的全增量

可表示為

其中A 、B僅與x、y 有關(guān)，而不依賴于Δx 、Δy，

，則稱函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，

稱為函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。記作dz，即

。

函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí)，則稱這個(gè)函數(shù)是D內(nèi)的可微函數(shù)，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)。[1-2]

定理編輯

定理1如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)p0（x0，y0）處可微，則z=f（x，y）在p0（x0，y0)處連續(xù)，且各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2若函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)p0（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)f′x，f′y連續(xù)，則函數(shù)f在點(diǎn)p0處可微。

定理3若函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)

必存在，且函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為：

判別可微的方法編輯

(1)若f (x,y)在點(diǎn)(x0, y0)不連續(xù)，或偏導(dǎo)不存在，則必不可微；

(2)若f (x,y)在點(diǎn)(x0, y0)的鄰域內(nèi)偏導(dǎo)存在且連續(xù)必可微；

(3)檢查

是否為

的高階無(wú)窮小，若是則可微，否則不可微1。[3]

極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系編輯

這幾個(gè)概念之間的關(guān)系可以用下圖表示：

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)