[科普中國]-第一型曲線積分

定義

設(shè) 為平面上可求長度的曲線段， 為定義在 上的函數(shù)．對曲線 作分割 ，它把分成 個(gè)可求長度的小曲線段 ， 的弧長記為 ，分割 的細(xì)度為 ，在 上任取一點(diǎn) , 若存在極限

且它的值與分割及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限 為 在 上的第一型曲線積分1，記為

或者簡寫成。

設(shè) 為空間上可求長度的曲線段， 為定義在 上的函數(shù)．對曲線 作分割 ，它把分成 個(gè)可求長度的小曲線段 ， 的弧長記為 ，分割 的細(xì)度為 ，在 上任取一點(diǎn) , 若存在極限

且它的值與分割及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限 為 在 上的第一型曲線積分，記為

對于一般維空間中曲線，可同樣給出定義。

物理意義當(dāng) 是平面上某一可求長度的曲線， 是其密度函數(shù)，當(dāng)計(jì)算物體的質(zhì)量問題時(shí)便須要第一型曲線積分．首先對 作分割,把分成n個(gè)可求長度的小曲線段 (i=1，2，…，n)，并在每一個(gè)上任取一點(diǎn) ，由于密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù),故當(dāng)?shù)幕￠L都很小時(shí)，每一小段的質(zhì)量可近似地等于 ,其中 為小曲線段的長度.于是在整個(gè)上的質(zhì)量就近似地等于和式

當(dāng)對的分割越來越細(xì)密時(shí),上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量2．

性質(zhì)第一型曲線積分具有下述一些重要性質(zhì)1:

1)．若存在，為常數(shù)，則也存在，且

2)．若曲線段由曲線首尾相接而成，且都存在，則也存在，且

3)．若與都存在，且在上, 則

4)．若存在，則也存在，且

第一型曲線積分的計(jì)算設(shè)有光滑曲線，函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則

應(yīng)用下面給出二個(gè)常用的應(yīng)用。

1) 空間曲線的重心坐標(biāo)為1

2)曲線繞z軸(x, y軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2是