[科普中國(guó)]-本構(gòu)模型

定義

用于表示某一種材料的本構(gòu)關(guān)系的物理模型。因通常由彈簧、黏壺和滑塊等實(shí)體元件組成而得名。按性質(zhì)可分為彈性模型、剛塑性模型、彈塑性模型、黏彈性模型、黏塑性模型和彈黏塑性模型。與之相應(yīng)的性質(zhì)常由模型參數(shù)表示。在巖土力學(xué)中應(yīng)用較為廣泛。2

分類彈性模型土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為彈性關(guān)系以及建立在彈性理論基礎(chǔ)上的本構(gòu)模型。主要有文克爾地基模型，雙參數(shù)地基模型，彈性半空間地基模型，層向各向同性體模型，以及各種非線性彈性模型。

超彈性模型通過應(yīng)變能函數(shù)的微分建立的本構(gòu)模型。

式中，

式中W為應(yīng)變能函數(shù)；Ω為余能函數(shù)；σij和εij分別為應(yīng)力張量和應(yīng)變張量。

次彈性模型在特路斯代爾（Truesdell）1955年建議的簡(jiǎn)單比率理論基礎(chǔ)上建立應(yīng)力速率和應(yīng)變速率之間關(guān)系為基礎(chǔ)的一類本構(gòu)模型。其一般表達(dá)式為：

零級(jí)次彈性模型為增量胡克定律。

彈塑性模型建立在彈塑性模型理論基礎(chǔ)上的一類本構(gòu)模型。

已經(jīng)建立的彈塑性模型很多，影響較大的有： 劍橋模型；修正劍橋模型；拉特-鄧肯模型；邊界面模型；清華彈塑性模型、沈珠江三重屈服面模型等。1

本構(gòu)關(guān)系即應(yīng)力張量與應(yīng)變張量的關(guān)系。一般地，指將描述連續(xù)介質(zhì)變形的參量與描述內(nèi)力的參量聯(lián)系起來的一組關(guān)系式。具體地講，指將變形的應(yīng)變張量與應(yīng)力張量聯(lián)系起來的一組關(guān)系式，又稱本構(gòu)方程。對(duì)于不同的物質(zhì)，在不同的變形條件下有不同的本構(gòu)關(guān)系，也稱為不同的本構(gòu)模型。如線性彈性體本構(gòu)模型的本構(gòu)關(guān)系為胡克定律。彈塑性體、粘彈性體、熱彈性體等都有各自的本構(gòu)關(guān)系。剛體也可以被看作一種簡(jiǎn)單的本構(gòu)模型。

土的本構(gòu)關(guān)系，亦稱“巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系”。巖石、巖體的應(yīng)變或應(yīng)變率與應(yīng)力、溫度、時(shí)間及其他因素的函數(shù)關(guān)系。在固體力學(xué)中，表征物體或結(jié)構(gòu)變形與受力的關(guān)系?？煞譃榫€性（彈性體）本構(gòu)關(guān)系與非線性（非彈性體）本構(gòu)關(guān)系兩類。前者在簡(jiǎn)單情況下即為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間存在著一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；而后者則復(fù)雜得多，一般天然巖石的本構(gòu)關(guān)系均屬于此類，如圖1。通常，巖石的本構(gòu)關(guān)系曲線亦稱為巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線。曲線大致可分為五個(gè)階段，C點(diǎn)表示巖石強(qiáng)度或破壞應(yīng)力，OABC是破壞前區(qū)域，CDE是破壞后區(qū)域。本構(gòu)關(guān)系是巖石力學(xué)中最重要的關(guān)系式，可用以確定一定應(yīng)力場(chǎng)或環(huán)境條件下巖石的實(shí)際狀況。對(duì)于探索地球巖石圈的應(yīng)力狀態(tài)以及地震成因理論等都有重要意義。

天然巖石的典型本構(gòu)關(guān)系曲線

OA（Ⅰ）：作功硬化階段

AB（Ⅱ）：線彈性階段

BC（Ⅲ）：膨脹軟化階段

CD（Ⅳ）：可控破裂階段

DE（Ⅴ）：摩擦滑動(dòng)階段3

基本原理物質(zhì)客觀性原理本構(gòu)方程是由物質(zhì)性質(zhì)決定的，它不隨觀測(cè)者的改變而變化，因而作為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)觀測(cè)者在做材料試驗(yàn)時(shí)應(yīng)當(dāng)?shù)玫较嗤谋緲?gòu)關(guān)系。即在做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系中，本構(gòu)方程應(yīng)具有相同的形式。

同時(shí)，本構(gòu)方程不因坐標(biāo)系的選擇不同而不同，在各坐標(biāo)系中均具有相同的形式，本構(gòu)方程應(yīng)當(dāng)具有張量的性質(zhì)。物質(zhì)客觀性原理也成為坐標(biāo)系無差異原理。

確定性（遺傳性）原理確定性原理認(rèn)為物體中某點(diǎn)的狀態(tài)恒可由物體內(nèi)各點(diǎn)的以往運(yùn)動(dòng)史唯一確定，而和未來的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。

局部作用原理物體內(nèi)諸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)某點(diǎn)X的應(yīng)力或其他物理量的影響，隨著離該點(diǎn)距離的增大而減小，特別是對(duì)大多數(shù)物質(zhì)，只有X點(diǎn)鄰近質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)才對(duì)X點(diǎn)的應(yīng)力有影響，而離開X點(diǎn)有限距離的物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)該點(diǎn)的應(yīng)力沒有影響。換句話說，同一物體的兩個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)歷史，只要保證兩個(gè)運(yùn)動(dòng)歷史在X點(diǎn)鄰域內(nèi)是相同的，則X點(diǎn)的應(yīng)力或其他物理量也是相同的。

物質(zhì)客觀性原理、確定性原理和局部作用原理也稱為Noll三原則，由此可以導(dǎo)出簡(jiǎn)單物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。

物質(zhì)對(duì)稱性原理自然界中的物質(zhì)一般都存在對(duì)稱性，本構(gòu)方程必須能夠反映這種對(duì)稱性。線性彈性力學(xué)的理論已證明，理論上應(yīng)力一應(yīng)變間存在81個(gè)彈性常數(shù)。由于應(yīng)力和應(yīng)變張量均為對(duì)稱張量，獨(dú)立的彈性常數(shù)下降到21個(gè)，正交各向異性物質(zhì)具有三個(gè)相互正交的對(duì)稱面，可以導(dǎo)出獨(dú)立的彈性常數(shù)為9個(gè)。橫觀各向同性材料有5個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，而各向同性材料則只有2個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。

記憶減退性原理離現(xiàn)時(shí)刻越遠(yuǎn)的過去的歷史對(duì)現(xiàn)時(shí)刻應(yīng)力和其他狀態(tài)物理量的影響越小。蠕變材料等的本構(gòu)方程都必須滿足這一原理。

相容性原理物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系必須滿足一些普遍原理，如質(zhì)量守恒原理、動(dòng)量守恒原理、動(dòng)量矩方程、局部能量守恒原理、熵產(chǎn)率原理等。

量綱一致性原理本構(gòu)方程中各項(xiàng)的量綱必須一致，同時(shí)要特別注意一些特殊函數(shù)（如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等）的自變量量綱。從事本構(gòu)關(guān)系研究時(shí)，對(duì)量綱一致性原理必須有足夠的重視，否則，即使提出的本構(gòu)關(guān)系能很好地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)得到完全錯(cuò)誤的結(jié)果。

舉例文克爾地基模型文克爾地基模型是由捷克工程師E·文克爾（E·WINKLER）1876年提出的?；緝?nèi)容為：地基上任一點(diǎn)所受的壓力強(qiáng)度p與該點(diǎn)的地基沉降S成正比，即p=k·s式中k-基床系數(shù)，表示產(chǎn)生單位沉降所需的反力，單位KN/m3。

在文克爾地基模型下，地基上某點(diǎn)的沉降之與該點(diǎn)土作用的壓力有關(guān)，與其他點(diǎn)的壓力無關(guān)。力學(xué)性質(zhì)與水相近的地基，例如抗剪強(qiáng)度很低的半液態(tài)土﹙如淤泥、軟粘土﹚地基或基底下塑性區(qū)相對(duì)較大時(shí)，采用文克爾地基模型就相對(duì)比較合適。文克爾地基又可稱為稠密液體地基，基床系數(shù)K相當(dāng)于液體的密度，地基反力相當(dāng)于液體的浮力。此外，厚度不超過梁或板的短邊寬度之半的薄壓縮層地基也適于采用文克爾地基模型。這是因?yàn)樵诿娣e相對(duì)較大的基底壓力作用下，薄層中的剪應(yīng)力不大的緣故（實(shí)際上，沉陷也發(fā)生在受壓范圍以外）。

文克爾地基模型忽略了地基中的剪應(yīng)力，這與實(shí)際情況是不相符的。正是由于剪應(yīng)力的存在，地基中的附加應(yīng)力才能向旁擴(kuò)散分布，使基底以外的地表發(fā)生沉降。文克爾模型中把基礎(chǔ)當(dāng)作絕對(duì)剛性的，忽視上部結(jié)構(gòu)的存在，把基礎(chǔ)看成地基上孤立的梁和板，而事實(shí)上結(jié)構(gòu)-基礎(chǔ)-地基是相互作用的。4

劍橋模型1958-1963年間，英國(guó)劍橋大學(xué)的Roscoe等根據(jù)正常固結(jié)粘土和弱超固結(jié)粘土的三軸試驗(yàn)，提出的劍橋粘土的本構(gòu)模型，標(biāo)志著人們?cè)谕馏w力學(xué)特性認(rèn)識(shí)上的第一次飛躍。他們將“帽子”屈服準(zhǔn)則、正交流動(dòng)準(zhǔn)則和加工硬化規(guī)律系統(tǒng)地應(yīng)用于Cam模型之中，并提出了臨界狀態(tài)線、狀態(tài)邊界面、彈性墻等一系列物理概念，構(gòu)成了第一個(gè)比較完整的土塑性模型。Roscoc和Burland又進(jìn)一步修正了劍橋模型，認(rèn)為劍橋模型的屈服面軌跡應(yīng)為橢圓，給出了眾所周知的修正劍橋模型?？梢赃@樣說，劍橋模型開創(chuàng)了土力學(xué)的臨界狀態(tài)理論。

試驗(yàn)證明，對(duì)于正常固結(jié)粘土和弱固結(jié)的飽和重塑粘土，孔隙比e與外力p，q之間存在有唯一的關(guān)系，且不隨應(yīng)力路徑而發(fā)生變化。該模型試圖描述室內(nèi)試驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象，即從某一初始狀態(tài)開始加載直到最終維持塑性常體積變形的臨界狀態(tài)，其基本組成如下：

（1）在（e，p）平面中，存在一條曲線，在正常固結(jié)粘性土中的所有應(yīng)力遵循此路徑，這被稱為正常固結(jié)線（NCL）。這條線提供了體積硬化規(guī)則，可以被廣義化為一般應(yīng)力條件。

（2）在（e，p，q）空間中存在一條線，所有的殘余狀態(tài)都遵循此路徑，而與實(shí)驗(yàn)類別和初始條件無關(guān)。這條線與（e，p）平面中的正常固結(jié)線平行，在此線上，剪切變形發(fā)生而沒有體積變形發(fā)生。

（3）從固結(jié)排水和不排水實(shí)驗(yàn)中所得到的應(yīng)力路徑位于唯一的狀態(tài)面，通稱為Roscoe面。事實(shí)上，在不排水路徑中，土隨著塑性體積應(yīng)變的發(fā)展而硬化。其中，體積應(yīng)變的彈性和塑性應(yīng)變?cè)隽恐捅３殖?shù)。Roscoe面價(jià)值在于給出了屈服面類型的一個(gè)選擇依據(jù)。5