[科普中國(guó)]-非線性H∞控制

背景

近年來(lái)，非線性控制越來(lái)越受到人們的重視，數(shù)學(xué)中的非線性分析、非線性泛函，物理學(xué)中的非線性動(dòng)力學(xué)等，發(fā)展都很迅速。與此同時(shí)，非線性控制理論也得到了蓬勃的發(fā)展。事實(shí)上，實(shí)際系統(tǒng)常常是非線性的，線性?xún)H是非線性的簡(jiǎn)化和近似。非線性控制理論的發(fā)展源自實(shí)踐的需要，特別是高技術(shù)科學(xué)對(duì)精確度的要求，使得傳統(tǒng)的線性近似方法難以解決問(wèn)題。

在實(shí)際系統(tǒng)中，被控對(duì)象往往伴隨著各種各樣的不確定性，因此人們只能基于近似描述被控對(duì)象的標(biāo)稱(chēng)數(shù)學(xué)模型來(lái)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。所謂魯棒性，是指系統(tǒng)預(yù)期的設(shè)計(jì)品質(zhì)不因不確定項(xiàng)的存在而遭到破壞的特性。魯棒控制對(duì)于非線性系統(tǒng)理論而言是一個(gè)重要的課題，而非線性H一控制理論則是解決非線性系統(tǒng)魯棒控制最系統(tǒng)化的方法之一。

簡(jiǎn)介一種抑制外部干擾的非線性系統(tǒng)控制方法。這種新方法是20世紀(jì)90年代興起的?？紤]如下系統(tǒng)：

其中x是狀態(tài)變量，y是量測(cè)輸出變量，z是調(diào)節(jié)輸出變量，w是外部信號(hào)(可以是干擾信號(hào))，u是控制變量，f是非線性向量場(chǎng)，h1，h2皆為非線性向量函數(shù).所謂非線性H∞控制問(wèn)題乃是要求找到(設(shè)計(jì))控制函數(shù)u(·)(可以是狀態(tài)x的函數(shù)，也可以是量測(cè)輸出y的函數(shù))，使得在u(·)的作用下有：

1.當(dāng)w=0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)x·=f(x，u(·)，0)漸近穩(wěn)定;

2.存在γ>0，使得當(dāng)x(0)=0時(shí)，L2增益不等式成立，?t>0.

非線性H∞控制源于20世紀(jì)80年代發(fā)展起來(lái)的線性H∞控制理論。鑒于非線性系統(tǒng)的多樣性和復(fù)雜性，線性H∞控制的許多分析方法不易直接利用。目前主要的研究方法是利用微分對(duì)策的觀點(diǎn)，將非線性H∞控制問(wèn)題化為HJI(Hamilton-Jacobi-Isaacs)方程(或不等式)的求解問(wèn)題。由于對(duì)一般非線性系統(tǒng)，HJI方程(不等式)的求解甚至解的存在性問(wèn)題都不易解決，至今只對(duì)一些特殊的非線性系統(tǒng)得到較為具體的設(shè)計(jì)方法。非線性H∞控制有廣泛的應(yīng)用背景。

非線性控制方法回顧古典方法針對(duì)特殊系統(tǒng)發(fā)展了以下三種理論:

1)主要針對(duì)二階系統(tǒng)發(fā)展了相平面方法性

2)針對(duì)含有一個(gè)非線性元件的高階系統(tǒng)發(fā)展了描述函數(shù)法”這一近似方法;

3)針對(duì)含有一個(gè)非線性元件的系統(tǒng)，稱(chēng)為L(zhǎng)ure系統(tǒng)代由李亞普諾夫理論發(fā)展出絕對(duì)穩(wěn)定性理論。

李亞普諾夫方法這一方法是迄今最完善和最一般的非線性方法。正是由于這種一般性，無(wú)論用來(lái)分析穩(wěn)定性或用來(lái)鎮(zhèn)定綜合，都缺乏構(gòu)造性。

變結(jié)構(gòu)方法嚴(yán)格說(shuō)，變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)稱(chēng)為具有滑動(dòng)模態(tài)的變結(jié)構(gòu)控制。這是20世紀(jì)50年代發(fā)展起來(lái)的一種方法，由于滑動(dòng)模態(tài)具有對(duì)干擾和攝動(dòng)的不變性，到80年代已逐漸受到重視。它是一種實(shí)用的非線性控制綜合方法，可以賦予系統(tǒng)各種良好的性能和品質(zhì)。但變結(jié)構(gòu)控制會(huì)產(chǎn)生料振”，這一本質(zhì)問(wèn)題迄今還沒(méi)有完全解決。

微分幾何和微分代數(shù)方法從70年代開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的微分幾何和微分代數(shù)方法，為非線性系統(tǒng)的控制理論找到了一種合適的工具，從而大大促進(jìn)了非線性控制理論的發(fā)展，形成了從理論到應(yīng)用的一次飛躍。近年發(fā)展起來(lái)的Back stepping方法等是在非線性標(biāo)準(zhǔn)形下進(jìn)行的，可以看作是幾何方法的間接應(yīng)用。

在經(jīng)歷了1/ 4世紀(jì)的發(fā)展與繁榮之后，幾何方法現(xiàn)在似乎進(jìn)入了蕭條時(shí)期，突破性的工作明顯減少，微分幾何方法的一些局限性也越來(lái)越明顯地暴露出來(lái)。

非線性H∞控制理論非線性H∞控制是近年來(lái)十分熱門(mén)的一個(gè)研究方向，并涉及到工程控制中的擾動(dòng)衰減等問(wèn)題。實(shí)際上，由于一些限制(如不確定性的種類(lèi)，控制的增益等)的影響，使得在一些具體問(wèn)題中對(duì)系統(tǒng)的不確定性難以實(shí)現(xiàn)干擾解禍，或用匹配及其推廣條件來(lái)消除干擾，以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，一種現(xiàn)實(shí)的提法是通過(guò)控制使得所需調(diào)整的輸出量盡可能對(duì)干擾信號(hào)不敏感，這就是非線性H一控制擾動(dòng)衰減的基本思想。

考慮如下仿射非線性系統(tǒng)

定義1、線性H∞問(wèn)題是對(duì)系統(tǒng)尋找最小的正數(shù)ζ，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器(如果狀態(tài)可測(cè)量) 或(如果狀態(tài)不能直接得到)

使得:

1)擾動(dòng)衰減

2)內(nèi)部穩(wěn)定:當(dāng)ω= o時(shí)，該控制器能使相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

Van der Schaft等人對(duì)非線性系統(tǒng)H∞理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。運(yùn)用辛幾何和動(dòng)態(tài)耗散理論，給出了一種解決非線性H∞狀態(tài)反饋控制的方法，即把問(wèn)題歸結(jié)為Hamilton Jacobi方程的可解性，這類(lèi)似于線性系統(tǒng)H∞理論中的Riccati方程。而Hamilton Jacobi方程的解與Hamilton向量場(chǎng)的不變流形的存在性有關(guān)，在Hamilton系統(tǒng)具有一定條件及雙曲平衡點(diǎn)的假設(shè)下，其解便與非線性系統(tǒng)線性化后的系統(tǒng)有關(guān)。

Isidoori等提出了解決非線性H∞控制問(wèn)題的微分對(duì)策框架，指出了輸出反饋控制器的存在與一對(duì)禍合的Hamilton Jaoobi方程的光滑正定解有關(guān)。其后，Isidoori基于對(duì)策論的框架，給出了符合分離原理的輸出反饋控制器存在的條件。Lin等研究了離散非線性系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題。Pavel等給出了實(shí)現(xiàn)非線性H∞控制的條件及控制器參數(shù)化的J 耗散描述方法。

以上都是針對(duì)確定性系統(tǒng)而言。對(duì)于系統(tǒng)不確定性的描述，通常有有界范數(shù)型、積分型、耗散型和微分包含型4種。Yang等研究了有界范數(shù)型不確定非線性系統(tǒng)。Nguang研究了積分型不確定非線性系統(tǒng)。

SOS法L2增益的控制問(wèn)題，習(xí)慣上也稱(chēng)為非線性H∞控制。這是因?yàn)镠∞范數(shù)雖是在線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上定義的，不過(guò)如果轉(zhuǎn)換到時(shí)域上來(lái)考慮，這H∞范數(shù)就是L2誘導(dǎo)范數(shù)，而在非線性系統(tǒng)中則稱(chēng)之為L(zhǎng)2增益。L2增益的控制是指以L2增益作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)的性能指標(biāo)，使之盡可能小。本文研究的是以L2增益為性能指標(biāo)的非線性狀態(tài)反饋律的設(shè)計(jì)。

非線性H∞控制雖然在理論上可以用Hamilton-Jacobi-Issacs ( HJI)不等式來(lái)求解，但HJI不等式目前還沒(méi)有一個(gè)有效的解析求解的方法。近年來(lái)出現(xiàn)的SOS方法，為求解非線性H二控制問(wèn)題提供了一個(gè)新的可能途徑。SOS是平方和(sum ofsquares)的縮寫(xiě)。SOS法是指采用SOS多項(xiàng)式來(lái)研究非線性系統(tǒng)。除了對(duì)象本身的非線性特性，如果想采用高于二次型的Lyapunov函數(shù)，或者想設(shè)計(jì)高階次的非線性控制律，就得研究一般形式的多項(xiàng)式。如果相應(yīng)的系統(tǒng)的多項(xiàng)式可整理成SOS形式，那就一定是非負(fù)的。這個(gè)方法雖然才問(wèn)世不久，但已經(jīng)在一些重要的應(yīng)用領(lǐng)域顯現(xiàn)出了其優(yōu)越性。

例如非線性系統(tǒng)吸引域的估計(jì)，大機(jī)動(dòng)下的衛(wèi)星姿態(tài)控制，飛機(jī)的姿態(tài)控制，非線性模型預(yù)測(cè)控制，時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，等等。在非線J險(xiǎn)H∞控制方面也提出了一些采用SOS的設(shè)計(jì)方法。但這些方法在應(yīng)用中都存在一些問(wèn)題。1

非線性H∞可靠控制關(guān)于提高系統(tǒng)工作可靠性的理論，一直是工程控制學(xué)科的中心研究課題之一。VBillet等給出了基于Riccati方程的線性H∞理論的設(shè)計(jì)方法，使得當(dāng)有控制元件失效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍漸近穩(wěn)定且增益有限。最近，基于非線性H∞理論，把線性系統(tǒng)的結(jié)果推廣到非線性系統(tǒng)。其中，Y an等研究了具有嚴(yán)格冗余控制元件的非線性系統(tǒng)的H∞可靠控制問(wèn)題，基于Hamilton-Jacobi不等式，給出了輸出反饋可靠控制器的設(shè)計(jì)算法。

閉環(huán)系統(tǒng)是H∞可靠的，是指不僅當(dāng)所有的執(zhí)行機(jī)構(gòu)和傳感器均正常工作時(shí)，而且當(dāng)有執(zhí)行機(jī)構(gòu)或傳感器失效時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍漸近穩(wěn)定且L2增益有限。缺點(diǎn)是只能有一個(gè)控制元件失效，優(yōu)點(diǎn)是無(wú)須知道失效域。L iu等研究了不確定非線性系統(tǒng)的可靠控制問(wèn)題，所提供的方法可以有多個(gè)控制元件失效，但是必須知道失效域。L iu等基于復(fù)制控制元件，研究了非線性系統(tǒng)的可靠控制問(wèn)題，該方法的優(yōu)點(diǎn)是可以有多個(gè)控制元件失效而無(wú)須知道失效域。

非線性H∞控制器的參數(shù)化通常在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，除了強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定和擾動(dòng)衰減外，還有其它設(shè)計(jì)目標(biāo)需要滿足。解決這些復(fù)雜控制問(wèn)題的方法之一是尋找控制器的集合，使得除能解決非線性H∞控制問(wèn)題外，還能滿足其它設(shè)計(jì)目標(biāo)，因此控制器的參數(shù)化便引起人們的關(guān)注。

Isidiori等給出了一簇狀態(tài)反饋控制器，但事實(shí)上需要全信息(既有狀態(tài)，又有擾動(dòng))。Yung等推廣的結(jié)果，基于輸出反饋提供了一簇非線性H∞控制器。Lu等和A stolfi得到了一簇非線性H∞輸出反饋控制器。Lu等對(duì)這一問(wèn)題的處理用到了類(lèi)似于線性情形的思想。A stolfi提供的方法沒(méi)有給出需滿足的兩個(gè)輸出in j ect ion main陣的明確表示，并且Hamilton Jacobi方程中涉及2n個(gè)獨(dú)立變量，是狀態(tài)的二倍。Yung等推廣的結(jié)果，在兩個(gè)需要滿足的Hamilton-Jacobi不等式中只有n個(gè)獨(dú)立變量，通過(guò)與漸近穩(wěn)定且L2增益有限的中央控制器相聯(lián)系而得到一簇控制器，證明也顯得較為簡(jiǎn)單。Yang等進(jìn)一步研究了狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)化問(wèn)題，在該方法中不需要全信息。

非標(biāo)準(zhǔn)非線性H∞控制奇異非線性H∞控制通常是指系統(tǒng)中 ， 不滿秩時(shí)的控制。A stolfi研究了 不滿秩的情況，運(yùn)用微分同胚變換得到一個(gè)幾乎處處解禍問(wèn)題，進(jìn)而得到實(shí)現(xiàn)非線性H∞控制的充分條件。Lee等研究了 ，不滿秩的情況，并將通常要求Hamilton Jacobi方程有正定解減弱為有半正定解。用無(wú)損分解技術(shù)研究了不滿秩的情況及控制器的降階問(wèn)題。L ink研究了非線性系統(tǒng)的混合控制問(wèn)題。

發(fā)展需要進(jìn)一步研究的幾個(gè)問(wèn)題2

非線性系統(tǒng)缺乏疊加原理這樣一類(lèi)線性性質(zhì)，其復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)線性系統(tǒng)的復(fù)雜性。線性系統(tǒng)研究中的一些一般性結(jié)論對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是不存在的，因此非線性系統(tǒng)的研究只能針對(duì)其自身特點(diǎn)尋求解決方法，才有可能得出一些具有公共性質(zhì)的結(jié)論。

當(dāng)前非線性H∞理論應(yīng)在以下幾個(gè)問(wèn)題上開(kāi)展深入研究：

1) Hamilton Jacobi方程已有一些近似解法，但還非常粗糙，如算法復(fù)雜，沒(méi)有給出近似程度的嚴(yán)格分析。

2)在H∞幾乎處處擾動(dòng)解禍設(shè)計(jì)中，控制器的設(shè)計(jì)雖然具有構(gòu)造性，但這種設(shè)計(jì)方法導(dǎo)致增益較高，結(jié)構(gòu)復(fù)雜。

3)非線性H∞可靠控制器的參數(shù)化是一個(gè)復(fù)雜的控制問(wèn)題，也是需要深入研究的實(shí)際問(wèn)題。

4)在一些非線性H∞控制方法中，大都需要滿足一定的光滑性條件，且控制無(wú)約束。在實(shí)際工程中，許多系統(tǒng)是非光滑的，且控制是有約束的。在這種情況下，應(yīng)研究如何進(jìn)行非線性H∞控制。

5)尋求避開(kāi)目前非線性H∞控制存在的缺陷，研究全新的非線性H∞控制方法。