[科普中國(guó)]-降階建模

基本概念

降階建模(reduced order modeling)方法是優(yōu)化設(shè)計(jì)、優(yōu)化控制和反問(wèn)題應(yīng)用中常見(jiàn)的方法。其降維本質(zhì)是將隨時(shí)間變化的多維物理過(guò)程進(jìn)行低維的近似描述，在捕捉系統(tǒng)能量的意義上達(dá)到最優(yōu)化，從而達(dá)到降低計(jì)算維數(shù)、減少計(jì)算量、節(jié)省計(jì)算時(shí)間和CPU負(fù)荷的效果

模型降階技術(shù)很早就在自動(dòng)控制和電路系統(tǒng)領(lǐng)域得到應(yīng)用，也一直是超大規(guī)模電路設(shè)計(jì)自動(dòng)化軟件的理論基礎(chǔ)之一 。但這一基本而又樸素的思想， 作為一類具有理論依據(jù)較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法還是近些年的事情，如何將大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)在一定條件下轉(zhuǎn)化為較小規(guī)模近似降階系統(tǒng) ,并滿足降階系統(tǒng)與原系統(tǒng)誤差足夠小 ，盡可能保持原系統(tǒng)穩(wěn)定性、無(wú)源性和結(jié)構(gòu)特性等主要性能 ,同時(shí)降階算法穩(wěn)定高效等 ，也是當(dāng)前計(jì)算數(shù)學(xué)的前沿研究課題 。 到目前為止 ，眾多具有較為嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的模型降階方法基本上是關(guān)于線性系統(tǒng)的。從數(shù)學(xué)上來(lái)看，最主要的降階建模方法包括 Krylov 子空間法、平衡截?cái)喾ê驼环纸夥?3種1。

降階步驟根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)需要，在合理時(shí)間內(nèi)對(duì)系統(tǒng)性能和特征進(jìn)行評(píng)估就必須努力簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型的階數(shù)。

模型降階的基本思想就是將卡爾曼的最小實(shí)現(xiàn)理論應(yīng)用于內(nèi)都平衡模型上作為可控可觀測(cè)子空間，得到低階模型?？梢?jiàn)模型降階包含了模型階數(shù)與由模型所反映的系統(tǒng)性能的程度之間的折中。其關(guān)鍵是去掉對(duì)脈沖響應(yīng)不起作用的弱系統(tǒng)，得到一個(gè)其脈沖響應(yīng)與全階系統(tǒng)極相似的 “占優(yōu)”子系統(tǒng) 這個(gè)“占優(yōu) 子系統(tǒng)就是所求的低階模型。

模型降階的一般步驟：

（1）收集全階模型的信息。如全階模型隨時(shí)間變化的數(shù)值解；

（2）構(gòu)造降階模型所在的低維空間。如采用SVD方法對(duì)全階模型進(jìn)行截?cái)啵槐Ａ羧A模型的主要信息，舍棄大部分非主要的信息，構(gòu)成低維空間的正交基。

（3）將全階模型投影到低維空間，獲得降階模型。

降階建模方法常用的模型降階方法：特征正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）、動(dòng)力模態(tài)分解法（DMD）等。其中POD方法應(yīng)用最為廣泛。

Krylov 子空間法最基本和最重要的模型降階方法是 Krylov子空間方法 , 其核心思想是采用標(biāo)準(zhǔn)正交列向量基對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模型降階，使得降階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)于原始線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在指定頻率區(qū)域內(nèi)有很好的近似。Krylov子空間方法在數(shù)學(xué)理論上相當(dāng)完善，其優(yōu)點(diǎn)是算法穩(wěn)定、簡(jiǎn)單高效且能保持系統(tǒng)的基本特性。典型的Krylov方法包括Arnoldi降階算法及其改進(jìn)；Lanczos降階算法及其改進(jìn)；PRIMA算法及多重Krylov子空間算法等。

平衡截?cái)喾∕oor提出的平衡截?cái)喾捌湎盗懈倪M(jìn)方法通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)挠成渥涌臻g來(lái)獲得高性能降階模型。平衡截?cái)喾苤苯咏o出降階系統(tǒng)與原始系統(tǒng)之間的誤差關(guān)系，并能夠保持原始系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其主要缺點(diǎn)在于降階過(guò)程需要求解兩個(gè)Lyapunov方程，計(jì)算量比較大。因此對(duì)于百萬(wàn)階以上超大規(guī)模系統(tǒng)，平衡截?cái)喾ń惦A過(guò)程的巨大計(jì)算耗費(fèi)會(huì)使得降階模型的高效性失去實(shí)際意義。

正交分解法POD方法，也被稱為Kahunen-Loeve分解法，它通過(guò)一些人發(fā)展起來(lái)（首先是Kosambi），并由主成分分析、Kahunen-Loeve分解和單一值分解而為世人所熟知。該方法常被用來(lái)獲取在湍流流動(dòng)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)和昆蟲(chóng)步態(tài)上低維近似描述，也被用于災(zāi)害探測(cè)上來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的應(yīng)用舉例，同時(shí)還被廣泛應(yīng)用于圖像處理、信號(hào)分析和數(shù)據(jù)壓縮。國(guó)內(nèi)外有很多人在處理模型降階時(shí)選擇使用POD方法，比如Boris Kramer將POD方法應(yīng)用于耦合的Burgers方程、Christopher Jarvis將其應(yīng)用于研究具有狄利克雷邊界和紐曼-狄利克雷邊界的Burgers方程，G. Berkooz，P. Holmes和J. L. Lumley將其應(yīng)用于分析湍流模型。

基于函數(shù)正交分解的函數(shù)逼近論降階模型方法目前主要發(fā)展了兩類。 一類是對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量或傳遞函數(shù)在已知正交函數(shù)基下進(jìn)行展開(kāi)，然后再對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階。其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單明了，但計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定性和無(wú)源性難以保證 。另一類是由系統(tǒng)的近似樣本數(shù)據(jù)集通過(guò)構(gòu)造一組基向量來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階，即本征正交分解法 (proper orthogonal decomposition, POD)，可有效地對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行降階,在數(shù)據(jù)處理中得到廣泛應(yīng)用，成為當(dāng)前最受關(guān)注的降階方法之一。

發(fā)展趨勢(shì)與展望多學(xué)科設(shè)計(jì)對(duì)降階模型提出挑戰(zhàn)由于ROM 技術(shù)提供了比原系統(tǒng)自由度低得多的降階模型，使得ROM 能夠得到計(jì)算機(jī)近乎實(shí)時(shí)的處理，同時(shí) ROM擁有足夠的精度，ROM自然被寄予厚望用來(lái)進(jìn)行與流場(chǎng)相關(guān)的多學(xué)科優(yōu)化與設(shè)計(jì)。然而不幸的是目前幾乎所有 ROM 方法，包括系統(tǒng)辨識(shí)方法和特征模態(tài)方法都是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，模型的精度?qiáng)烈依賴構(gòu)建ROM時(shí)流場(chǎng)的狀態(tài)，例如，雷諾數(shù)、初始條件和邊界條件，對(duì)流場(chǎng)參數(shù)變化非常敏感，缺乏足夠的魯棒性。當(dāng)參數(shù)發(fā)生哪怕是微小變化時(shí)ROM的精度就會(huì)大大降低，不滿足ROM在氣動(dòng)彈性設(shè)計(jì)與控制等多學(xué)科領(lǐng)域設(shè)計(jì)與仿真應(yīng)用中的要求。

自適應(yīng)降階模型研究現(xiàn)狀由于傳統(tǒng)POD/ROM的出現(xiàn)也不過(guò)是近10年的事情 , 而且對(duì)它在無(wú)流場(chǎng)參數(shù)變化系統(tǒng)中的應(yīng)用仍然是當(dāng)前計(jì)算氣動(dòng)彈性力學(xué)的研究熱點(diǎn)，因此很少有人關(guān)注 ROM 對(duì)流場(chǎng)參數(shù)變化敏感的問(wèn)題。從目前能查到的文獻(xiàn)來(lái)看，最早關(guān)注這個(gè)問(wèn)題的可能是美國(guó) Syracuse 大學(xué)的 Glauser 教授。他在研究微型飛行器時(shí)為了對(duì)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)在不同馬赫數(shù)和不同迎角下得到的流場(chǎng)數(shù)據(jù)利用 POD 方法進(jìn)行建模，以便預(yù)測(cè)柔性機(jī)翼在任意飛行狀態(tài)下的表面流場(chǎng)，于 2004 年提出了 GPOD 方法。其主要思想是將參數(shù)空間多個(gè)點(diǎn)，如多個(gè)馬赫數(shù)和迎角下的流場(chǎng)解都包括在內(nèi)構(gòu)成一個(gè)更大的 snap-shot 矩陣，然后再生成 POD 基。該方法在極低馬赫數(shù) 0.04 ～ 0.05 和 0度 ～ 20度攻角之間變化獲得了較好的效果。但是目前框架內(nèi)的 GPOD 方法有兩個(gè)主要的缺點(diǎn)，一是 snapshot 假定為非線性定常流場(chǎng)的線性擾動(dòng) ，因此難以包括不同定常條件下的非線性流場(chǎng)解，會(huì)導(dǎo)致 snapshot 矩陣的不一致性；二是包括不同參數(shù)空間的 snapshot 矩陣會(huì)大大降低 POD 基的收斂性，從而會(huì)導(dǎo)致 POD 基對(duì)任何一個(gè)馬赫數(shù)都不是最優(yōu)的。此外，如果飛行包線范圍比較大，會(huì)導(dǎo)致巨大的 snapshot 矩陣從而難以求解其特征值，這樣 GPOD 在非線性相當(dāng)嚴(yán)重的跨音速區(qū)就失效了2。