[科普中國(guó)]-線性二次控制

簡(jiǎn)介

線性二次控制（Linear quadratic control）是指線性的，性能指標(biāo)泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，并且由狀態(tài)變量構(gòu)成線性狀態(tài)反饋方式。

如果系統(tǒng)是線性的，性能指標(biāo)泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，并且由狀態(tài)變量構(gòu)成線性狀態(tài)反饋系統(tǒng)，則這樣的最優(yōu)控制稱為線性二次最優(yōu)控制。以下介紹的是線性二次型最優(yōu)控制的基本知識(shí)。首先介紹了二次性能指標(biāo)，然后討論了調(diào)節(jié)器問(wèn)題。

二次型簡(jiǎn)介二次型，quadratic form。n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式稱為二次型，即在一個(gè)多項(xiàng)式中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)為任意多個(gè)，但每一項(xiàng)的次數(shù)都為2的多項(xiàng)式。線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，它起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題的研究。二次型理論與域的特征有關(guān)。

二次型函數(shù)的定義定義設(shè)z是n維列向量，稱標(biāo)量函數(shù)

為二次型函數(shù)，并將P稱為二次型的矩陣。上式是二次型函數(shù)的矩陣表達(dá)式，該式又可展開(kāi)為

由式2可知，二次型函數(shù)v( x)實(shí)質(zhì)上是關(guān)于xi和xj的二次多項(xiàng)式。由于多項(xiàng)式中，同類項(xiàng)合并后可再平分系數(shù)，因此可以整理成對(duì)稱系數(shù)。也就是說(shuō)，一個(gè)二次型函數(shù)總可以化成二次型矩陣P為實(shí)對(duì)稱矩陣的二次型函數(shù)。1

線性控制理論簡(jiǎn)介線性控制理論是系統(tǒng)與控制理論中最為成熟和最為基礎(chǔ)的一個(gè)組成分支，是現(xiàn)代控制理論的基石。

系統(tǒng)與控制理論的其他分支，都不同程度地受到線性控制理論的概念、方法和結(jié)果的影響和推動(dòng)。

系統(tǒng)是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。系統(tǒng)可具有完全不同的屬性，如工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等。但是，在系統(tǒng)理論中，常常抽去具體系統(tǒng)的物理或社會(huì)含義而把它抽象化為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究，這種處理方法有助于揭示系統(tǒng)的一般特性。

系統(tǒng)最基本的特征是它的整體性，系統(tǒng)的行為和性能是由其整體所決定的，系統(tǒng)可以具有其組成部分所沒(méi)有的功能，有著相同組成部分但它們的關(guān)聯(lián)和作用關(guān)系不同的兩個(gè)系統(tǒng)可呈現(xiàn)出很不相同的行為和功能。

理論研究對(duì)象線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，它是實(shí)際系統(tǒng)的一類理想化了的模型，通?？梢杂镁€性的微分方程和差分方程來(lái)描述。

在系統(tǒng)與控制理論中，我們將主要研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通常也稱其為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)常可用一組微分方程或差分方程來(lái)表征，并且可對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和各種性質(zhì)給出嚴(yán)格和定量的數(shù)學(xué)描述。當(dāng)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程具有線性屬性時(shí)，稱相應(yīng)的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)是一類最簡(jiǎn)單且研究得最多的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

線性二次型最優(yōu)控制如果系統(tǒng)是線性的，性能指標(biāo)泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，并且由狀態(tài)變量構(gòu)成線性狀態(tài)反饋系統(tǒng)，則這樣的最優(yōu)控制稱為線性二次最優(yōu)控制。以下介紹的是線性二次型最優(yōu)控制的基本知識(shí)。首先介紹了二次性能指標(biāo)，然后討論了調(diào)節(jié)器問(wèn)題。2

二次型性能指標(biāo)二次型性能指標(biāo)的一般形式如下

式中

Q(t)一一nxn維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣;

R(t)一一rxr維正定的控制加權(quán)矩陣;

Qo一一nxn維半正定的終端加權(quán)矩陣。

在工程實(shí)際中，Q(t)和R(t)常取對(duì)角陣。

下面對(duì)性能指標(biāo)中各項(xiàng)的物理意義作逐一解析。

被積函數(shù)中第一項(xiàng)，若x表示誤差矢量，那么表示誤差的平方。由此可見(jiàn)，是用以衡量誤差x大小的代價(jià)函數(shù)，x越大，也就越大。Q(t)通常是對(duì)角線矩陣，對(duì)角線上的元素qii，分別表示相對(duì)應(yīng)誤差分量xi的重視程度，越加被重視的誤差分量，希望它越小，相應(yīng)地，其加權(quán)系數(shù)qii就應(yīng)取得越大，如果對(duì)誤差在動(dòng)態(tài)過(guò)程中不同時(shí)刻有不同的強(qiáng)調(diào)時(shí)，那么，相應(yīng)的qii就應(yīng)取成時(shí)變的。

被積函數(shù)中第二項(xiàng)，表示動(dòng)態(tài)過(guò)程中對(duì)控制的約束或要求，如

果把u看成電壓或電流的話，那么Lu與功率成正比，而

表示在區(qū)間內(nèi)消耗的能量，因此，Lu是衡量控制功率大小的代價(jià)函數(shù)。

式中第二項(xiàng)突出了對(duì)終端誤差的要求，叫做終端代價(jià)函數(shù)。例如在宇航的交會(huì)問(wèn)題中，由于要求兩個(gè)飛行體終態(tài)完全一致，因此，必須加上這一項(xiàng)，以體現(xiàn)tf時(shí)誤差足夠的小，至于Qo ， R(t)的加權(quán)意義和Q(t)相仿。

如果最優(yōu)控制的目的是使J →min，則其實(shí)際意義在于用不大的控制，來(lái)保持較小的誤差，從而達(dá)到能量和誤差綜合指標(biāo)的最優(yōu)的目的。

狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題狀態(tài)調(diào)節(jié)器的任務(wù)是，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過(guò)多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍然接近于平衡狀態(tài)。在研究這類問(wèn)題時(shí)通常把初始狀態(tài)矢量看成擾動(dòng)，而把零狀態(tài)取做平衡狀態(tài)。于是調(diào)節(jié)器問(wèn)題就變?yōu)閷ふ易顑?yōu)控制規(guī)律“，在有限的時(shí)間區(qū)間[fto } tf」內(nèi)，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)附近，并使給定的性能指標(biāo)泛函取極值。

設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表述為

x, u, y一一分別為n, r, m維矢量;

A(t)一一hxh維系統(tǒng)矩陣;

B(t)一一hxr維輸入矩陣;

C(t)一一mxh維輸出矩陣;

性能指標(biāo)泛函如上圖所示

下面給出狀態(tài)調(diào)節(jié)器的解最優(yōu)控制器為

最優(yōu)性能指標(biāo)為

式中P(t)滿足下面的Riccati矩陣微分方程

邊界條件