[科普中國]-胡克模型

胡克定律概念模型

準(zhǔn)確描述內(nèi)部包含不規(guī)則孔隙或裂隙巖石的受力變形以及力學(xué)、溫度、水力耦合對一系列工程應(yīng)用具有重大的意義。近年來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)值模擬軟件被廣泛使用，對上述耦合關(guān)系的準(zhǔn)確描述直接關(guān)系到數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。在這些耦合關(guān)系中，首當(dāng)其沖需要解決的是準(zhǔn)確描述巖石的受力變形問題，即應(yīng)力應(yīng)變問題。

在工程領(lǐng)域，胡克定律——即巖石的應(yīng)變和應(yīng)力呈線性關(guān)系，被廣泛應(yīng)用。胡克定律最先用于描述金屬類均值材料，如彈簧秤的應(yīng)用等。巖石受力后在一定范圍內(nèi)應(yīng)力應(yīng)變表現(xiàn)出了線性關(guān)系，但并不是整個(gè)應(yīng)力應(yīng)變曲線都表現(xiàn)出了較好的線性關(guān)系。通常巖石樣品在伺服剛性試驗(yàn)機(jī)單軸加載條件下測得的應(yīng)力應(yīng)變曲線示意圖。在巖石樣品達(dá)到峰值強(qiáng)度之前通常可以分為三個(gè)階段：第一個(gè)階段OA為非線性壓密階段，此階段試樣的剛度逐漸上升，這是由于巖石內(nèi)部的微裂紋逐漸閉合引起的；第二個(gè)階段AB為線彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，直線的斜率為彈性模型或稱楊氏模量；第三個(gè)階段BC為微裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段。相對比而言，鋼材等均值材料，OA段并不明顯。在描述巖石的彈性力學(xué)性質(zhì)時(shí)，通常為了方便起見，忽略O(shè)A段，使用AB段計(jì)算所得彈性模量來描述巖石彈性性質(zhì)。

對于應(yīng)力敏感性巖石，忽略壓密階段OA，將會(huì)帶來很大問題，尤其是考慮耦合問題時(shí)。例如，本文前述分析中，巖石中的微裂紋對于其滲透性質(zhì)有著很大的影響。接下來我們介紹如何概念性地將含有內(nèi)部復(fù)雜結(jié)構(gòu)的巖石劃分為兩部分，采用兩部分胡克定律模型（TPHM）來建立更準(zhǔn)確關(guān)系式來描述巖石的力學(xué)性質(zhì)1。

胡克模型推導(dǎo)為了推導(dǎo)的方便，我們采用平均應(yīng)力和體積應(yīng)變來介紹TPHM。假設(shè)均勻彈性材料受到均勻應(yīng)力后，采用胡克定律來描述其彈性性質(zhì)可采用如下公式：

dσ=Kdε(1)

式中σ為靜水壓力，規(guī)定壓為正，ε為體積應(yīng)變。對于體積應(yīng)變的描述有兩種方式：自然應(yīng)變式(2)和工程應(yīng)變式(3)。

dε=?dV/V???(2)

Freed綜述分析了對巖石應(yīng)變的描述，指出為了更準(zhǔn)確的描述巖石的變形，應(yīng)該采用自然應(yīng)變。

工程應(yīng)變可采用如下公式：

dε=?dV/V0(3)

式中V0為巖石樣品在未受力狀態(tài)下的體積。

設(shè)定初始條件σ=0時(shí)，V=V0，分別對公式(2)和(3)進(jìn)行積分。對于自然應(yīng)變來說：

V=V0exp(?σ/K)(4)

式中，K體積模量，對于工程應(yīng)變來說：

V=V0(1?σ/K)(5)

值得注意的是，對于小變形來說σ/K趨向于0時(shí)），式(4)將和式(5)等價(jià)。對于具有很高彈性模量的材料來說，在考慮彈性階段的受力變形時(shí)，一般可視為小變形。因此為了計(jì)算的方便，實(shí)際工程領(lǐng)域通常采用工程應(yīng)變來代替更為準(zhǔn)確的自然應(yīng)變。

但是對于巖石材料來說，其中含有不規(guī)則的孔隙、微裂紋，它們的存在使得巖石內(nèi)部不同部分的變形十分不同，這也反應(yīng)在巖石的應(yīng)力應(yīng)變曲線上。直觀地描述巖石樣品整體時(shí)，通常認(rèn)為具有較高的彈性模量，因此通常采用工程應(yīng)變來描述巖石的彈性性質(zhì)。但深入到巖石內(nèi)部細(xì)、微觀結(jié)構(gòu)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)從微觀結(jié)構(gòu)來看，其內(nèi)部含有不同大小和形狀的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。在巖石受到均勻的靜水壓力后，不同部分的變形并不相同。其中的部分微裂紋及狹長孔隙會(huì)經(jīng)歷相對它們自身尺寸來說較大的變形，而巖石的基質(zhì)部分變形較小。建立合理的模型及關(guān)系式來準(zhǔn)確描述巖石受力后的變形顯得十分重要。尤其是對于巖石力學(xué)和滲透性質(zhì)的耦合來說，因?yàn)椴灰?guī)則的微裂縫和孔隙為流體流動(dòng)提供了通道2。

為了更準(zhǔn)確的描述上述問題，劉會(huì)海等概念性地將巖石劃分為“軟”和“硬”兩部分。其中“軟”的部分對應(yīng)巖石內(nèi)部經(jīng)歷相對較大變形的狹長孔隙及微裂紋，“硬”的部分對應(yīng)剩余結(jié)構(gòu)。描述軟的部分(softpart）時(shí)采用自然應(yīng)變，描述硬的部分(hardpart）時(shí)，由于其受力后變形較小。