[科普中國(guó)]-澤尼克多項(xiàng)式

通常人們會(huì)使用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的形式來(lái)描述光學(xué)系統(tǒng)的像差。由于澤尼克多項(xiàng)式和光學(xué)檢測(cè)中觀測(cè)到的像差多項(xiàng)式的形式是一致的，因而它常常被用來(lái)描述波前特性。但這并不意味著澤尼克多項(xiàng)式就是用來(lái)擬合檢測(cè)數(shù)據(jù)的最佳多項(xiàng)式形式。在某些情況下，用澤尼克多項(xiàng)式來(lái)描述波前數(shù)據(jù)具有很大的局限性。比如說(shuō)，當(dāng)需要考慮空氣擾動(dòng)的時(shí)候，澤尼克多項(xiàng)式幾乎沒(méi)有什么價(jià)值。同樣地，我們也無(wú)法找到一組合適的澤尼克多項(xiàng)式來(lái)描述單點(diǎn)金剛石車(chē)削加工（single point diamond turning process）中的制造誤差。為了準(zhǔn)確地描述圓錐面光學(xué)元件（conical optical elements）的對(duì)準(zhǔn)誤差，必須對(duì)澤尼克多項(xiàng)式進(jìn)行修正。盲目地使用澤尼克多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)檢測(cè)數(shù)據(jù)只會(huì)導(dǎo)致糟糕的結(jié)果。

澤尼克多項(xiàng)式是由無(wú)窮數(shù)量的多項(xiàng)式完全集組成的，它有兩個(gè)變量，ρ和θ，它在單位圓內(nèi)部是連續(xù)正交的。需要注意的是，澤尼克多項(xiàng)式僅在單位圓的內(nèi)部連續(xù)區(qū)域是正交的，通常在單位圓內(nèi)部的離散的坐標(biāo)上是不具備正交性質(zhì)的。

澤尼克多項(xiàng)式具有三個(gè)和其他正交多項(xiàng)式集不一樣的性質(zhì)。

1、澤尼克多項(xiàng)式Z(ρ, θ)可以被化解為徑向坐標(biāo)ρ和角度坐標(biāo)θ的函數(shù)，其形式如下：

這里，關(guān)于角度的函數(shù)G(θ)是一個(gè)以2π弧度為周期的連續(xù)函數(shù)，并且滿足當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)α角度之后，其形式不發(fā)生改變，也就是旋轉(zhuǎn)不變性：

其三角函數(shù)集形式如下：

這里m是任意正整數(shù)或0。

2、澤尼克多項(xiàng)式的第二個(gè)性質(zhì)是徑向函數(shù)R(ρ)必須是ρ的n次多項(xiàng)式，并且不包含冪次低于m次的ρ方項(xiàng)。

3、第三個(gè)性質(zhì)是當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)R(ρ)也為偶函數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，R(ρ)也為奇函數(shù)。

徑向多項(xiàng)式R(ρ)可以看作是雅可比多項(xiàng)式（Jacobi polynomials）的特例，它們的正交和歸一化性質(zhì)可由如下式子表示：

上式中的 是克羅內(nèi)克符號(hào)（Kronecker delta），即當(dāng)n=n’時(shí)， ，當(dāng)n≠n'時(shí)，, 。 并且它具有歸一化的性質(zhì)：

在計(jì)算徑向多項(xiàng)式時(shí)，為了方便起見(jiàn)，我們通常會(huì)將其分解成如下形式：

其中 的次數(shù)為2(n-m)，由下式給出：

通常我們會(huì)用實(shí)數(shù)形式的多項(xiàng)式（正弦和余弦函數(shù)）來(lái)代替復(fù)制數(shù)多項(xiàng)式，這樣的話，波前像差函數(shù)W(ρ, θ)的澤尼克展開(kāi)式就有如下形式：

一般來(lái)說(shuō)，給出的48項(xiàng)澤尼克項(xiàng)中，#0項(xiàng)是個(gè)常數(shù)或者說(shuō)是平移項(xiàng)（piston term），這一項(xiàng)的系數(shù)也代表了平均光程差；而#1和#2項(xiàng)分別是x和y方向的傾斜項(xiàng)（tilt terms），#3代表了聚焦，因此，#1到#3項(xiàng)代表了波前的高斯或者近軸特性；#4和#5項(xiàng)代表了像散和離焦，#6和#7項(xiàng)代表彗差和傾斜，而#8項(xiàng)代表了3級(jí)像差和離焦，也就是說(shuō)#4到#8項(xiàng)為3級(jí)相差項(xiàng)；同樣地，#9到#15項(xiàng)代表了5級(jí)像差，而#16到#24項(xiàng)代表了7級(jí)像差，#25到#35項(xiàng)代表了9級(jí)像差，#36到#48項(xiàng)代表了11級(jí)像差。

這些澤尼克項(xiàng)和像差的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

Z0 ：平移；Z1：x軸傾斜；Z2：y軸傾斜；Z3：離焦；Z4：像散0度和離焦；Z5：像散45度和離焦；Z6：彗差和x軸傾斜；Z7：彗差和y軸傾斜；Z8：球差和離焦。

由于這些澤尼克項(xiàng)中與視場(chǎng)無(wú)關(guān)，它們并非真正的賽德?tīng)栂癫?。用干涉測(cè)試的方法智能得到單個(gè)視場(chǎng)點(diǎn)的波前數(shù)據(jù)。這使得場(chǎng)曲看上去像離焦，而畸變看上去像傾斜。因此，要得到賽德?tīng)栂癫?，就必須測(cè)量一定數(shù)量的視場(chǎng)點(diǎn)。

我們可以按照初級(jí)和3級(jí)像差的形式繼續(xù)改寫(xiě)上述波前函數(shù)，也就是合并同類(lèi)項(xiàng)，并用波前相差系數(shù)做等價(jià)替換，結(jié)果如下：

便可得到如下所示的視場(chǎng)無(wú)關(guān)的波前相差系數(shù)：

下表列出了上述視場(chǎng)無(wú)關(guān)像差多項(xiàng)式的度量（Magnitude），符號(hào)和角度（Angle）。注意離焦項(xiàng)的符號(hào)選擇原則是使得其系數(shù)的數(shù)值最小，像散符號(hào)的選取則相反。

光學(xué)主反射鏡是空問(wèn)光學(xué)遙感器的組成部分，它的鏡面面形精度是影響空間光學(xué)遙感器分辨率的重要因素之一。在地面裝調(diào)過(guò)程中，反射鏡在光軸水平和光軸豎直兩種狀態(tài)下，由于引力場(chǎng)的作用，反射鏡的鏡面將會(huì)發(fā)生變形，因此在進(jìn)行光學(xué)反射鏡設(shè)計(jì)時(shí)需要做鏡面變形分析，以檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的光學(xué)反射鏡是否滿足面形精度要求。鏡面變形包括剛體位移和表面變形，剛體位移會(huì)引起光學(xué)系統(tǒng)像傾斜、離軸和離焦，表面變形將影響光學(xué)系統(tǒng)的波前差。剛體位移可以通過(guò)調(diào)整光學(xué)元件之間的相對(duì)位置來(lái)消除，而表面變形無(wú)法消除。因此鏡面變形中的表面變形能夠真實(shí)反映光學(xué)反射鏡的面形精度。以自由曲面鏡面為例，通過(guò)有限元分析得到面形數(shù)據(jù)，用澤尼克多項(xiàng)式對(duì)變形后的面形進(jìn)行精確擬合，并分離出剛體位移部分得到表面變形云圖，計(jì)算出表面變形的表面變形均方根和表面變形最大值與最小值之差1。