[科普中國(guó)]-魯棒濾波器

研究現(xiàn)狀魯棒濾波

lyapunov穩(wěn)定性理論是在時(shí)間域中研究參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒分析和綜合問題的主要理論基礎(chǔ)。在這一框架內(nèi)主要有兩種研究方法，即Riccati方程處理方法和線性矩陣不等式方法。

Riccati方法是早期的一種主要研究方法。它是通過將不確定系統(tǒng)的分析和綜合問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)Riccati型矩陣方程(或矩陣不等式)的可解性問題，進(jìn)而通過求解Riccati方程來(lái)對(duì)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性及魯棒性能進(jìn)行分析，或給出魯棒濾波器。Riccati方程處理方法在80年代和90年代初期被廣大學(xué)者采用，對(duì)魯棒控制理論的發(fā)展起到了很大的促進(jìn)作用。然而，隨著研究問題的日益復(fù)雜，越來(lái)越多的學(xué)者認(rèn)識(shí)到Riccati方法的局限性：

1) Riccati型矩陣方程本身的求解存在一定的問題。目前有很多求解Riccati型矩陣方程的方法，但大多為迭代方法，這些方法的收斂性不能得到保證；

2)在應(yīng)用Riccati方法進(jìn)行不確定系統(tǒng)的分析和綜合時(shí)，往往需要設(shè)計(jì)者事先確定一些待定參數(shù)，這些參數(shù)的選擇不僅直接影響到結(jié)論的好壞，而且還會(huì)影響到問題的可解性。

但在現(xiàn)有的Riccati方程處理方法中，還缺乏尋找這些參數(shù)最佳值的方法，多數(shù)情況下尚需要人為的確定這些參數(shù)，無(wú)疑給分析和綜合結(jié)果引入了很大的保守性。

自從20世紀(jì)90年代初，線性矩陣不等式逐漸受到控制界的普遍關(guān)注，主要得益于求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法的提出。在過去的十多年里，線性矩陣不等式被廣泛應(yīng)用到系統(tǒng)和控制的各個(gè)領(lǐng)域中。通過采用線性矩陣不等式技術(shù)，系統(tǒng)和控制中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性矩陣不等式(組)的可行解問題，或者轉(zhuǎn)化為一個(gè)受線性矩陣不等式(組)約束的凸優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)法的提出使魯棒濾波分析和綜合中的一些原來(lái)無(wú)法解決的復(fù)雜問題在轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題后得以有效的解決。線性矩陣不等式方法可以克服Riccati方程處理方法中存在的許多不足。在線性矩陣不等式框架中研究不確定系統(tǒng)的魯棒分析和綜合問題時(shí)，所需要預(yù)先選擇的參數(shù)要明顯少于Riccati方法；線性矩陣不等式方法給出了問題解的一個(gè)凸約束條件，它一方面可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來(lái)進(jìn)行求解，另一方面，當(dāng)求解這些約束條件時(shí)，所得到的可行解不是唯一的，而是一組滿足要求的可行解。因而可以對(duì)這一組解做進(jìn)一步優(yōu)化，這一點(diǎn)在多目標(biāo)魯棒分析及綜合問題中具有明顯的優(yōu)越性。線性矩陣不等式技術(shù)不僅為廣大科研工作者所采用，也正逐漸為工程師所接納。1

隨機(jī)系統(tǒng)魯棒濾波由于現(xiàn)代社會(huì)很多工程和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可抽象為隨機(jī)系統(tǒng)模型，這類系統(tǒng)在運(yùn)行過程中常常受到外部環(huán)境和內(nèi)部結(jié)構(gòu)等隨機(jī)突變因素的影響。最近，一些學(xué)者己經(jīng)開始對(duì)采用不確定模型描述的隨機(jī)系統(tǒng)，尤其是對(duì)隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒濾波問題展開研究，但對(duì)這一方面的研究還不是十分廣泛。

基本原理魯棒濾波器的基本原理是：如果使系統(tǒng)干擾至系統(tǒng)誤差的傳遞函數(shù)矩陣的H∞范數(shù)最小，則具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)誤差的影響將會(huì)降到最低程度；或者是將噪聲看作能量有限的隨機(jī)信號(hào)，使系統(tǒng)干擾到估計(jì)誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的正數(shù)。

研究方法近十幾年，隨著不確定系統(tǒng)理論的發(fā)展，不確定系統(tǒng)的魯棒控制也取得了不同程度的發(fā)展。也提出了基于時(shí)域的魯棒濾波問題，將濾波器問題轉(zhuǎn)化為Riccati方程的求解問題。魯棒濾波是指考慮系統(tǒng)中的不確定性，設(shè)計(jì)濾波器使得濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且滿足所提出的性能指標(biāo)。自從魯棒濾波方法被引入到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)中出現(xiàn)了大量的研究成果。如：

(1)魯棒H∞濾波。假設(shè)系統(tǒng)的噪聲輸入為能量有界信號(hào)，濾波器設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是使濾波誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定值；

(2)魯棒L2-L∞濾波。假設(shè)系統(tǒng)的噪聲輸入為能量有界信號(hào)，與H∞濾波的不同之處在于濾波器設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是使濾波誤差系統(tǒng)具有一定的L2-L∞衰減水平，又稱為能量一峰值濾波；

(3)魯棒L1濾波。假定系統(tǒng)的噪聲輸入為峰值有界的信號(hào)，濾波器設(shè)計(jì)的主要依據(jù)是使相對(duì)于所有峰值有界的噪聲輸入信號(hào)，最劣情況下的濾波誤差信號(hào)的峰值小于給定值，又稱為峰值一峰值濾波。2

具體構(gòu)成在的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)噪聲與觀測(cè)噪聲為有限的能量信號(hào)，即：

則魯棒濾波就是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，對(duì)于給定的正數(shù)γ，有：

上式滿足的充要條件是存在正定矩陣并滿足黎卡提(Riccati)方程，當(dāng)γ趨于∞時(shí)，此時(shí)的魯棒濾波器就退化為卡爾曼濾波器。在實(shí)踐中，適當(dāng)選擇γ值的大小，可使濾波誤差方差小并對(duì)不確定噪聲具有很好的魯棒性。3

優(yōu)點(diǎn)在很多的工業(yè)應(yīng)用中，系統(tǒng)中含有不確定參數(shù)，精確的系統(tǒng)模型是很難獲得的。因此，研究在模型存在不確定性下的濾波算法具有重要的理論意義，為了克服這個(gè)困難，魯棒濾波方法被引入，這個(gè)方法是考慮系統(tǒng)中的不確定性，設(shè)計(jì)濾波器使得濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且滿足所提的性能指標(biāo)。魯棒濾波方法有如下優(yōu)點(diǎn)：
(1)對(duì)系統(tǒng)的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。
(2)與傳統(tǒng)的濾波方法相比較，魯棒濾波無(wú)需了解噪聲的特性。