[科普中國(guó)]-差分計(jì)算

引言

客觀世界許多變量本身就是離散的（比如酵母菌的分裂，股市的開盤或收盤價(jià)的按日記錄等），它們表現(xiàn)出來(lái)的函數(shù)也是離散的；現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的連續(xù)函數(shù)關(guān)系難以用解析式表示（如河流水位的高低作為時(shí)間的函數(shù)等），人們只能測(cè)得一系列值而得到一個(gè)數(shù)列；有些函數(shù)關(guān)系盡管能用函數(shù)表示，但其解析式比較復(fù)雜（如捕食與被捕食種群數(shù)的變化、接觸性傳染病的傳播等），在不妨礙結(jié)果有效性的前提下，人們也愿意把對(duì)連續(xù)函數(shù)的研究轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)列的研究，而計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，更為數(shù)列的研究提供了方便，是數(shù)列的應(yīng)用也日趨廣泛。

差分計(jì)算差分，又名差分函數(shù)或差分運(yùn)算，差分的結(jié)果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數(shù)學(xué)的一種工具。它將原函數(shù)f(x) 映射到。差分運(yùn)算，相應(yīng)于微分運(yùn)算，是微積分中重要的一個(gè)概念?？偠灾?，差分對(duì)應(yīng)離散，微分對(duì)應(yīng)連續(xù)。差分又分為前向差分和逆向差分兩種。

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)與自然科學(xué)研究中，我們經(jīng)常遇到與時(shí)間t有關(guān)的變量，而人們往往又只能觀察或記錄到這些變量在離散的t時(shí)的值。對(duì)于這類變量，如何去研究它們的相互關(guān)系，就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具，事實(shí)上來(lái)源于差分與差分方程。因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動(dòng)的材料。

讀者熟悉等差數(shù)列： ，其中 ，d為常數(shù)，稱為公差， 即 ，這就是一個(gè)差分，通常用 來(lái)表示，于是有 ，這是一個(gè)最簡(jiǎn)單形式的差分方程。

定義.：設(shè)變量y依賴于自變量t ，當(dāng)t變到t + 1時(shí)，因變量y = y(t)的改變量稱為函數(shù)y(t)在點(diǎn)t處步長(zhǎng)為1的(一階)差分，常記作，簡(jiǎn)稱為函數(shù)y(t)的(一階)差分，并稱D為差分算子。

應(yīng)用在比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小時(shí)，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式難以解決時(shí)可以采取的一種速算方式。

適用形式：

兩個(gè)分?jǐn)?shù)作比較時(shí)，若其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母分別僅僅大一點(diǎn)，這時(shí)候使用“直除法”、“化同法”經(jīng)常很難比較出大小關(guān)系，而使用“差分法”卻可以很好地解決這樣的問(wèn)題。

在滿足“適用形式”的兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，我們定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)”，分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)”，而這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母分別做差得到的新的分?jǐn)?shù)我們定義為“差分?jǐn)?shù)”。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是“大分?jǐn)?shù)”，313/51.7就是“小分?jǐn)?shù)”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分?jǐn)?shù)”。

“差分法”使用基本準(zhǔn)則—— “差分?jǐn)?shù)”代替“大分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”作比較：

1、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大；

2、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)??；

3、若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等。

比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較”，因?yàn)?1/1.4>313/51.7（可以通過(guò)“直除法”或者“化同法”簡(jiǎn)單得到），所以324/53.1>313/51.7。1