[科普中國(guó)]-H∞最優(yōu)控制

H∞控制方法始于1981年，Zame把SISO線性反饋系統(tǒng)的靈敏度問(wèn)題看作是H∞最小范數(shù)問(wèn)題，并涉及了古典控制理論的一些基本問(wèn)題，立即引起了人們的極大注意。后來(lái)，H∞范數(shù)延伸到更為一般的問(wèn)題，特別是在考慮魯棒性問(wèn)題時(shí)，它比其它方法更為直接。H∞控制的表示很簡(jiǎn)單，但求解過(guò)程卻十分復(fù)雜。目前主要有頻域法、多項(xiàng)式法、狀態(tài)空間法。

H∞最優(yōu)控制，簡(jiǎn)而言之，就是用H∞范數(shù)作為日標(biāo)函數(shù)的度量邊行優(yōu)化設(shè)計(jì)。H∞范數(shù)是定義在Hardy空間 上的范數(shù)，在H∞控制理論中是指在S右半平面上解析的有理函數(shù)陣的最大奇異值。在標(biāo)量函數(shù)中就是幅頻特性的極大值。因此，如果使系統(tǒng)干擾至誤差的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)最小的話，那么，具有有限功率譜的干擾對(duì)系統(tǒng)誤差的影響將會(huì)降到最低限度。這就是H∞最優(yōu)控制的基本思想.

跟蹤問(wèn)題、模型匹配問(wèn)題，魯棒穩(wěn)定問(wèn)題、加權(quán)混合靈敏度問(wèn)題等各種控制問(wèn)題都可以化為如圖1所示的H∞標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題1。

其中：

G、k分別表示廣義受控對(duì)象和控制器；

W: l維外部輸入信號(hào)；

z: ρ維受控輸出；

u: n維控制信號(hào)；

y: m維量測(cè)輸出。

按w、z、u、y 的維數(shù)將G(s)分塊為：

有

H∞控制的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題是：

求一真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，并使由W到Z的傳遞函數(shù)矩陣：

的范數(shù)最小，即

或者：求所有真實(shí)有理的K，使G穩(wěn)定，且使

前者稱(chēng)為H∞最優(yōu)控制問(wèn)題，后者稱(chēng)為H∞次優(yōu)控制問(wèn)題。

具有非結(jié)構(gòu)性加法攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題可以歸結(jié)為H∞次優(yōu)化問(wèn)題。這首先是由木村提出的, 考慮如圖所示系統(tǒng)：

假設(shè)不確定性攝動(dòng)△P滿足不等式

其中，R為已知有理函數(shù)陣。根據(jù)小增益理論系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是

故對(duì)于滿足△P不等式的所有攝動(dòng)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件是

可以證明上式也是系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的必要條件，魯棒控制器的設(shè)計(jì)就歸結(jié)為求滿足上式的H∞次優(yōu)控制器。

在研究具有結(jié)構(gòu)性時(shí)變攝動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，一般采用二次穩(wěn)定性定義。設(shè)系統(tǒng)描述如下

其中，r(t) 表示時(shí)變攝動(dòng)。所謂二次穩(wěn)分是僧存在李亞譜諾夫函數(shù)及α>0

使得下式成立。

假設(shè)系統(tǒng)可以表示為

上式范數(shù)定義為最大奇異值，Pctcrson等給出了該系統(tǒng)二次穩(wěn)定的充要條件：

（1）A為穩(wěn)定陣

（2）

因此，如果我們采用狀態(tài)反饋u=-Kx則由上述結(jié)果可知，使系統(tǒng)二次穩(wěn)定的魯棒控制器K必須滿足以下兩個(gè)條件：

（1）A-BK穩(wěn)定

（2）

故二次穩(wěn)定問(wèn)題就歸結(jié)為求滿足上式的H∞次優(yōu)控制器2。