[科普中國]-分層建模

分層建模，是將多輸入多輸出建模問題分解為一系列單輸入多輸出的數(shù)據(jù)建模問題，提高多輸入多輸出系統(tǒng)建模的效率和準(zhǔn)確性。分層建模方法克服了包括被認(rèn)為是建模障礙的多元共線性在內(nèi)的一類大系統(tǒng)中普遍存在的困難。模型中所包含的變量比其它方法所建立模型包含的變量多許多。因而模型更具有普遍性，用于預(yù)測及用于大系統(tǒng)的全面分析效果都好些。

對于樣本集合

其中 為系統(tǒng)的輸入變量， 為系統(tǒng)的輸出變量,多輸入多輸出系統(tǒng)的數(shù)據(jù)建模問題就是確定一個向量函數(shù)F(X)，使得樣本集合D滿足這一映射關(guān)系F， ，即

在一定的精度要求下,系統(tǒng)變量之間的函數(shù)關(guān)系可以近似為Y=F(X)，即

數(shù)據(jù)建模問題就是獲得這種映射關(guān)系，使得在某種意義下， F是系統(tǒng)的最佳逼近。通常是選擇一組基函數(shù)進(jìn)行線性組合，給出F的一種含參變量的表達(dá)式，然后通過最小二乘法或者其它方法確定參變量的系數(shù)。數(shù)據(jù)進(jìn)化建模則采用遺傳編程算法自動生成映射關(guān)系的結(jié)構(gòu)。同時借助于數(shù)值優(yōu)化方法確定模型中的參變量，從已有解出發(fā)根據(jù)個體的適應(yīng)度信息指導(dǎo)搜索過程向改進(jìn)解的方向發(fā)展。使生成的模型個體按照一定的指標(biāo)逼近樣本數(shù)據(jù)。并進(jìn)一步分析所獲取的模型是否真實地反映所觀測的系統(tǒng)。

對于數(shù)據(jù)建模問題，如果輸入和輸出變量是多維的，直接在多維模型集中搜索和生成問題的最優(yōu)模型，問題的難度增大，計算的效率也顯著降低?？梢詮膬蓚€方面將建模問題進(jìn)行簡化，以降低問題的復(fù)雜程度：

（1）引入問題的先驗知識模型，擴充可行模型的空間域，提高問題可行解集的搜索概率；

（2）將多輸入多輸出建模問題分解為一系列單輸入多輸出，甚至是單輸入單輸出的數(shù)據(jù)建模問題，縮減每次建模時模型集的維數(shù)，重復(fù)地在單輸入模型集中進(jìn)行搜索和組合函數(shù)式，顯著地降低模型搜索的空間，提高搜索效率。

從大量的工程數(shù)據(jù)或圖表中可以看到，在不同的工作條件下可以獲得大量的數(shù)據(jù)，曲線形狀比較接近，這些數(shù)據(jù)可以用一組相同的函數(shù)模型來表示，只是模型的參數(shù)不同，構(gòu)成函數(shù)模型族。

下面引入層函數(shù)的定義，對多維函數(shù)進(jìn)行分解1。

層函數(shù)：對于任意一個連續(xù)的n 維輸入向量函數(shù)Y= F(x1，x2，… ，xn) (n>1)，由原函數(shù)推導(dǎo)的一維輸入變量函數(shù)稱為層函數(shù)，Y=G( xk，θ)，其中θ為層函數(shù)的參數(shù)向量， 為層函數(shù)的參向量函數(shù)，是其它輸入變量的函數(shù)。

除了在某些特殊點下，函數(shù)模型可能產(chǎn)生退化現(xiàn)象外，函數(shù)的結(jié)構(gòu)基本上保持不變。因此根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)總是能夠找到一個反映輸入變量和輸出變量之間函數(shù)關(guān)系的通式，當(dāng)其它輸入變量的取值改變時，只需要調(diào)整參變量的值，使這個通式能夠表示所有的樣本數(shù)據(jù)。

對于樣本數(shù)據(jù)集D，輸入變量 和輸出變量 ，為了確定X 和Y之間的函數(shù)關(guān)系Y=F ( x1，x2，… xn ) ( n> 1)，先固定變量x2，x3，… ，xn為常數(shù)，組織數(shù)據(jù)集，尋找Y和x1之間的函數(shù)關(guān)系，并且用帶參的結(jié)構(gòu)表示。

即得到第1層函數(shù)式Y(jié)= G1 (x1 ，θ1) ，其中θ1= (θ11 ，θ12 ，… ，θ1m)為1層函數(shù)的參數(shù)向量。

輸入變量x 2 ，x 3 ，… ，xn 取不同的數(shù)值時，保持Y= G1 (x1 ，θ1)這個含參數(shù)的函數(shù)式，對參數(shù)向量進(jìn)行優(yōu)化，得到相應(yīng)的參數(shù)向量θ1 的值。整理參數(shù)向量θ1 和其余的輸入變量x2，x3，…，xn 的數(shù)據(jù)，重組建模的數(shù)據(jù)集， ，參數(shù)向量作為降維建模系統(tǒng)的輸出變量，進(jìn)一步獲得參數(shù)向量與其它輸入變量之間的函數(shù)關(guān)系。重復(fù)以上過程，直至得到原系統(tǒng)的最后一個輸入變量與上一層函數(shù)模型中參數(shù)向量之間的函數(shù)關(guān)系式。將各層函數(shù)模型中引入的參變量逐層用下一層函數(shù)式所取代，得到多輸入多輸出數(shù)據(jù)的模型。其建模過程可以表示為：

數(shù)據(jù)分層建模算法的結(jié)構(gòu)描述如下：

PROCEDURE多輸入多輸出數(shù)據(jù)分層建模算法

{

輸入建模數(shù)據(jù)集

For k= 1: 1 : dimension-input-variable

{

選擇本層函數(shù)的輸入變量

任意選取一組數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)進(jìn)化建模

將模型轉(zhuǎn)換成含參數(shù)的形式

for j= 1: 1: Mk

{

參數(shù)優(yōu)化θk=Opt {Fk(xk ,θk )| }

}

重構(gòu)建模數(shù)據(jù)集

數(shù)據(jù)集分組

}

for k= (dimension-input-variable-1) : -1: 1

{
　　θk+ 1= Yk

替換模型中的參數(shù)Yk= Fk ( xk ,θk )

}

}

分層建模方法的優(yōu)點是：

（1）可以直接根據(jù)數(shù)據(jù)將系統(tǒng)分成若干個部分，分成二個層次，而且如果條件允許，用本方法還可建立更多層次的系統(tǒng)模型。顯然，這樣的模型一般更接近于實際系統(tǒng)。這樣的模型對于一些缺少先驗知識的大系統(tǒng)的定性定量分析是有益的。

（2）由于分二個層次，分二次估計參數(shù)，因而分散了系統(tǒng)辨識的難點，可以比較容易辨識結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的模型，不同結(jié)構(gòu)的子模型（第一個層次）可以升存于同一個模型之中，這樣就大大擴大了可辨識模型的范圍。

（3）分層建模方法克服了包括被認(rèn)為是建模障礙的多元共線性在內(nèi)的一類大系統(tǒng)中普遍存在的困難。模型中所包含的變量比其它方法所建立模型包含的變量多許多。因而模型更具有普遍性，用于預(yù)測及用于大系統(tǒng)的全面分析效果都好些。

（4）分層建?？梢猿浞掷矛F(xiàn)有的統(tǒng)計資料，尤其適用于數(shù)據(jù)長度一般，但截面資料豐富的情況，因為充分利用截面資料彌補了歷史資料的欠缺，因而對于大系統(tǒng)的辨識及參數(shù)估計都有較大的影響。

（5）由于尋找 的工作，所有的建模工作都要做，而且為了尋找合適的模型， 這樣的函數(shù)都要找多個，進(jìn)行比較，以決定取舍，所以分層建模方法所新增加的工作，主要在第二個層次綜合。個柱面方程，若采用準(zhǔn)則C是復(fù)雜一些，計算量比較大，但若采用準(zhǔn)則A、B ，則仍是很簡單的，總之，增加的工作量不大，計算機上進(jìn)行，工作增量是可以接受的2。