[科普中國]-一致收斂性

函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：設(shè) 是函數(shù)項級數(shù) 的部分和函數(shù)列，若 在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù) ，則稱函數(shù)項級數(shù) 在D上一致收斂于函數(shù) ，或稱函數(shù)項級數(shù) ?在D上一致收斂。

函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣，一致收斂性的判別法類似于數(shù)項級數(shù)，都有Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlete判別法等。另外，結(jié)合數(shù)項級數(shù)的比式判別法和根式判別法，可以得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法，同時利用p 級數(shù)的收斂性和優(yōu)級數(shù)判別法還可得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的對數(shù)判別法1。

在這些方法中，柯西準(zhǔn)則判別法和魏爾斯特拉斯判別法是較為實用和方便的一致收斂判別法，一般要首先考慮使用。如果能用魏爾斯特拉斯判別法判定 一致收斂，則 必定是絕對收斂，從而魏爾斯特拉斯判別法對條件收斂的函數(shù)項級數(shù)失效。

根據(jù)定義判別函數(shù)列是否一致收斂。

函數(shù)項級數(shù) 在D上一致收斂的充分必要條件是對于任意給定的ε>0，存在正整數(shù)N=N(ε)，使

| |n>N與一切x∈D成立。

設(shè)（Ⅰ） 在區(qū)間I上一致收斂；
　?。á颍τ诿恳粋€ ， 是單調(diào)的；
　?。á螅?img src="http://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/lcuYWOa9FsoMqaSJAYAKE0ArdzYUUtzUKp7U.jpg" /> 在I上一致有界，即對一切 和正整數(shù)n，存在正整數(shù)M，使得

| | ， 時，有 ，則函數(shù)項級數(shù) 一致收斂。

設(shè) 為定義在數(shù)集D 上正的函數(shù)列，記 ，存在正整數(shù)N 及實數(shù)q、M, 使得：qn(x)≤ q < 1， ≤M 對任意的n > N ，x ∈ D 成立, 則函數(shù)項級數(shù) 在D 上一致收斂。

設(shè) 為定義在數(shù)集D 上的函數(shù)列，若存在正整數(shù)N，使得

對所有 n > N，x ∈ D 成立，則函數(shù)項級數(shù) 在D上一致收斂。

設(shè) 為定義在數(shù)集D 上正的函數(shù)列，若

存在，那么：

(1)若對 x ∈ D , p(x) > p > 1, 則函數(shù)項級數(shù) 在D 上一致收斂；

(2)若對 x ∈ D , p(x) < p < 1, 則函數(shù)項級數(shù) 在D 上不一致收斂。

一致收斂數(shù)列具有連續(xù)性、可積性、可微性的性質(zhì)2。

若函數(shù)列 的每一項 均在[ a， b] 上連續(xù)，且一致收斂于 ， 則其極限函數(shù)S(x)也在[ a， b] 上連續(xù)。

設(shè) 在[ a, b] 上一致收斂于S(x), 每一個 都在[ a, b] 上連續(xù), 那么

且函數(shù)列 在[ a, b] 上一致收斂于 。

若在[ a, b] 上，函數(shù)列 的每一項都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 收斂于S(x)， 一致收斂于σ(x)， 則S′(x)=σ(x)，即

根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義和定理，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性與非一致收斂性的區(qū)別：

含參變量廣義積分的一致收斂性：

若 ，當(dāng) 時，對 一致收斂，則稱對一致收斂。