[科普中國]-行星引力輔助變軌

發(fā)展

利用行星引力輔助變軌是目前國際深空探測中常用的技術(shù)，例如伽利略號和卡西尼探測器就多次利用地球、金星、木星等改變軌道增加能量，從而節(jié)省大量燃料。俄羅斯為了減少高緯度發(fā)射地球同步衛(wèi)星所耗費(fèi)的燃料，提出利用月球引力輔助變軌的發(fā)射方案。而在1998年6月，美國休斯公司利用月球引力成功的挽救了未入軌的亞洲3號地球同步軌道衛(wèi)星。2

使用借力飛行方案探測太陽系中的天體，借力星體無非就是地球的天然衛(wèi)星(月球)和比所要探測行星離地球更近的太陽系行星。

從火星探測借太陽系行星的引力飛行來看，應(yīng)用最多的是金星。而金星為深空探測器提供借力源的實例有：美國的水星探測器Mariner10(水手10號)借金星之引力輔助于1974年到達(dá)水星；歐空局的Galileo(伽利略號)經(jīng)過1次金星和2次地球近旁轉(zhuǎn)向后到達(dá)木星；NASA/ESA的聯(lián)合項目Cassini(卡西尼號)土星探測器經(jīng)過了兩次金星近旁轉(zhuǎn)向于2004年7月到達(dá)土星。1

基本原理大多數(shù)行星間和行星探測軌道的初步設(shè)計基本均從應(yīng)用圓錐曲線拼接法開始的。在應(yīng)用這種方法進(jìn)行軌道設(shè)計時，多體問題被分解為一系列的兩體問題。1

雅可比(JACOBI)積分

雅可比積分描述了限制性三體問題能量轉(zhuǎn)移的約束，它是Jacobi在19世紀(jì)所發(fā)現(xiàn)的。兩個巨大的質(zhì)量體進(jìn)行著兩體運(yùn)動，一個質(zhì)點(diǎn)在兩個大質(zhì)量體質(zhì)心的環(huán)繞軌道上運(yùn)動，此質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)方程將守恒。

蒂塞朗準(zhǔn)則(TisserandCriterion)

蒂塞朗是19世紀(jì)著名天文學(xué)家，他使用Jaco-bi積分來識別彗星，即在限制性三體問題中，彗星軌道要素滿足的某一特定方程在彗星飛越一顆行星前后保持守恒。利用此方程計算兩條不同時期觀察到的彗星軌道并且結(jié)果一樣，這可能是同一個彗星在兩次觀察之間飛越了一顆行星，并通過向前或向后推演軌道來確定猜測是否正確。1

蒂塞朗準(zhǔn)則應(yīng)用到引力輔助軌道設(shè)計中時，設(shè)計過程將與彗星識別的過程相反。從發(fā)射行星到借力行星并且從借力行星到目標(biāo)行星的計算可以使用Lambert定理完成，而識別這些軌道的可行性將需要使用蒂塞朗準(zhǔn)則。

基本特性圖1給出了典型的行星引力輔助變軌的兩種視角圖像(行星中心視角和日心視角)。

圖中SOI(sphereofinfluence)表示行星的影響球；上標(biāo)“-”和“+”分別表示探測器飛越行星前后的量；Vrel是探測器相對于行星的速度；V(-)rel表示探測器相對于行星從無窮遠(yuǎn)處靠近行星的速度；Vp表示行星的日心速度；Vs/c表示探測器的日心速度；δ表示探測器速度相對行星的矢量在探測器整個近旁轉(zhuǎn)向其間轉(zhuǎn)過的角度；γ表示探測器的飛行路徑角；β表示個初始相對速度角(相對于借力行星)；ΔVga表示由于引力輔助影響改變的探測器日心速度；探測器相對于行星的軌道是一條雙曲線，這是因為探器相對于行星的速度大于行星的逃逸速度。1

軌道模型無動力引力輔助模型在初步軌道設(shè)計時，無動力引力輔助（Unpowered Gravity ASSIST，UPGA）可以近似為日心慣性坐標(biāo)系中的一個瞬時速度脈沖（無需消耗工質(zhì)），引力輔助前后探測器的日心慣性坐標(biāo)系位置沒有變化。3

有動力引力輔助模型有動力引力輔助（Powered Gravity Assist，PGA）軌道，可以看作雙曲線俘獲和逃逸軌道的拼接，并在近行星點(diǎn)處施加一次速度脈沖。3

軌道設(shè)計以火星探測器借助金星引力輔助變軌的軌道設(shè)計為例，說明行星引力輔助變軌的軌道設(shè)計過程。

借金星引力飛行探測火星的軌道設(shè)計過程分三步：(1)地球-金星軌道段；(2)金星-火星軌道段；(3)能量(C3)匹配。即可詳細(xì)解釋為在借金星引力的火星探測方案中，可以把探測器的軌道分成兩段，第一段是地球-金星的轉(zhuǎn)移軌道，通過地球-金星轉(zhuǎn)移軌道的Pork-chop等高線，可以獲取發(fā)射能量要求的地球發(fā)射時間和對應(yīng)到達(dá)金星的時間，以及到達(dá)金星的能量。第二段金星-火星的轉(zhuǎn)移軌道段，取前一段到達(dá)金星的時間作為第二段的初始時間，然后將火星軌道周期分成等份，求取每一等份末段點(diǎn)的時刻，作為到達(dá)火星的時間，然后通過求解朗伯(Lambert)問題得到探測器飛出金星的能量和到達(dá)火星的速度。如果探測器飛出金星的能量和探測器到達(dá)金星的能量相匹配，那么就可以得到從地球經(jīng)金星借力到達(dá)火星的完整軌道，如果不能匹配，那么需要另外尋找發(fā)射機(jī)會。1

Pork-chop圖是以發(fā)射時間和到達(dá)時間為坐標(biāo)的所需發(fā)射能量的等高線圖。對于一個發(fā)射時間段來說，這個能量等高線圖由無數(shù)條直接轉(zhuǎn)移軌道(如Earth-Venus，Earth-Jupiter等)構(gòu)成。圖上的每一點(diǎn)都是求解相應(yīng)的Lambert問題得到的。通過繪制的Pork-chop圖可以尋找發(fā)射行星和借力星體、借力星體和目標(biāo)星體之間可行性軌道。

地球-金星軌道段為了完成地球-金星的軌道設(shè)計，首先要尋找地球到金星的發(fā)射時機(jī)，此時機(jī)可以由地球-金星的Pork-chop圖得到。圖4和圖5分別給出了2022～2023年地球-金星發(fā)射與到達(dá)的Pork-chop圖。圖中橫坐標(biāo)表示從地球發(fā)射的時間，縱坐標(biāo)表示到達(dá)金星的時間，金星的星歷選用JPL的DE405星歷。1

圖4中，等高線表示從地球發(fā)射探測器所需要的能量。從能量等高線圖可以看出在等高線的兩個谷底處是發(fā)射探測器的最佳時機(jī)，因所需的發(fā)射能量最少。在2022年10月-2023年10月這段時間內(nèi)，從地球發(fā)射探測器到金星的最佳時間主要集中在2023年4月到6月。在此期間發(fā)射探測器所需的能量(兩倍單位質(zhì)量動能)大約為10(km/s)2左右。1

圖5表示了2022年10月-2023年10月這段時間內(nèi)，從地球發(fā)射探測器到達(dá)金星的到達(dá)Pork-chop圖，由此圖可以得到從地球到金星的到達(dá)能量，等高線表示到達(dá)金星所具有的能量(這里表示探測器飛越金星時的能量等高線)。此能量將被用來設(shè)計近旁轉(zhuǎn)向期間軌道和下一段的日心軌道，也就是說，這個能量是用于下一軌道匹配的目標(biāo)能量。

從上圖4與圖5可以看出能量等高線是沿著某一軸不嚴(yán)格對稱的，這也證實了短程和長程的能量是非嚴(yán)格對稱的?，F(xiàn)有火箭的運(yùn)載能力是有限的，因此這里選用圖4中滿足現(xiàn)有火箭運(yùn)載能力的部分發(fā)射窗口來進(jìn)行軌道設(shè)計。

金星-火星軌道段假設(shè)探測器進(jìn)入天體影響球和飛出影響球是同一時刻，將地球-金星軌道段得到的到達(dá)金星的日期確定為金星-火星軌道段的發(fā)射日期，通過查金星星歷可以得到此時金星的位置。為了設(shè)計這段軌道還需要知道到達(dá)火星的日期和探測器的飛行時間，對于這段軌道的設(shè)計可以通過求解Lambert問題來實現(xiàn)：為了搜索可行的金星-火星軌道，將火星的軌道周期N等分，對每一個從金星出發(fā)的日期，將對應(yīng)N個抵達(dá)火星的日期以及飛出金星時的能量，根據(jù)現(xiàn)有運(yùn)載火箭的運(yùn)載能力，人為加入發(fā)射能量約束(小于35(km/s)2)，最終得到從金星出發(fā)時刻的C3曲線圖(見圖6)。從中可以看出，從金星出發(fā)的最佳日期為2023年08月12日-2024年03月06日。1

能量匹配需要將前面兩節(jié)設(shè)計的兩段軌道拼接起來才能形成完整的借力飛行軌道，這里采用能量匹配(C3匹配)來完成

C3匹配：飛入金星的能量(目標(biāo)C3)與飛出金星的能量(C3曲線)匹配。反應(yīng)在圖8中可以描述為，如果飛入借力天體(金星)的能量(目標(biāo)C3)與飛出借力天體的能量(C3曲線)有交點(diǎn)，那么表明存在滿足匹配條件的無機(jī)動軌道；如果沒有交點(diǎn)，表明在給定時間段內(nèi)，針對此借力天體，不存在無機(jī)動的借力飛行軌道。1

使用能量約束(發(fā)射能量小于35(km/s)2)、發(fā)射日期約束(2022年10月-2023年10月)和與火星交會時相對速度小于10km/s，可以得到40多組C3曲線(N=T火星/3day)，圖6繪出了幾組典型的仿真圖像，(a)、(b)中C3曲線中是兩條類拋物線，而(c)、(d)中C3曲線中是一條類拋物線。如果在Pork-chop圖5中沿某一橫坐標(biāo)做垂線，有的發(fā)射時刻，對應(yīng)著4個不同抵達(dá)時刻但能量相同的點(diǎn)，而有的發(fā)射時刻對應(yīng)2個能量相同點(diǎn)，這是造成C3曲線有的是兩條類拋物線，有的是一條的原因。需要注意的是C3曲線是加入各種約束后得到的，而Pork-chop圖卻是沒有加入約束得到的，這就會造成對大部分同一出發(fā)時刻的同一出發(fā)能量(目標(biāo)C3)，從Pork-chop圖看和C3曲線圖看交點(diǎn)個數(shù)不同的原因。如果所加約束更加嚴(yán)格，C3曲線將退化為只有一半的類拋物線，這時一個目標(biāo)C3將和C3曲線只有唯一交點(diǎn)，此交點(diǎn)對應(yīng)的軌道即為拼接后得到的完整借力飛行軌道。圖7為火星探測以金星借力軌道設(shè)計的流程圖。1