[科普中國(guó)]-狄拉克費(fèi)米子

物理學(xué)中，狄拉克費(fèi)米子是反粒子與自身不同的費(fèi)米子。絕大多數(shù)粒子因?yàn)榉戳Ｗ优c自身不同，而屬于狄拉克費(fèi)米子，粒子物理學(xué)中除中微子外，標(biāo)準(zhǔn)模型中的所有費(fèi)米子都是狄拉克費(fèi)米子。狄拉克費(fèi)米子以保羅·狄拉克命名，可以用狄拉克方程描述。

一個(gè)狄拉克費(fèi)米子相當(dāng)于兩個(gè)外爾費(fèi)米子。與狄拉克費(fèi)米子對(duì)應(yīng)的是反粒子與自身相同的馬約拉納費(fèi)米子。

除此之外，在凝聚態(tài)物理學(xué)中，石墨烯和拓?fù)浣^緣體的低能激發(fā)是由狄拉克方程描述的費(fèi)米子準(zhǔn)粒子。1

理論物理中，相對(duì)于薛定諤方程之于非相對(duì)論量子力學(xué)，狄拉克方程是相對(duì)論量子力學(xué)的一項(xiàng)描述自旋-?粒子的波函數(shù)方程，由英國(guó)物理學(xué)家保羅·狄拉克于1928年建立，不帶矛盾地同時(shí)遵守了狹義相對(duì)論與量子力學(xué)兩者的原理，實(shí)則為薛定諤方程的洛倫茲協(xié)變式。這條方程預(yù)言了反粒子的存在，隨后1932年由卡爾·安德森發(fā)現(xiàn)了正電子(positron)而證實(shí)。

帶有自旋-?的自由粒子的狄拉克方程的形式如下：

其中 是自旋-?粒子的質(zhì)量， 與 分別是空間和時(shí)間的坐標(biāo)。2

狄拉克所希望建立的是一個(gè)同時(shí)具有洛倫茲協(xié)變性和薛定諤方程形式的波方程，并且這個(gè)方程需要確保所導(dǎo)出的概率密度為正值，而不是像克萊因-戈?duì)柕欠匠棠菢哟嬖谌狈ξ锢硪饬x的負(fù)值。

考慮無(wú)場(chǎng)勢(shì)自由粒子的薛定諤方程：

薛定諤方程采用的時(shí)間項(xiàng)為一階導(dǎo)數(shù)，而空間項(xiàng)為二階導(dǎo)數(shù)，因此不具有洛倫茲協(xié)變性。若要符合洛倫茲協(xié)變性，很自然地需建構(gòu)一具有空間項(xiàng)一階導(dǎo)數(shù)的哈密頓量。

而動(dòng)量算符恰好是空間一階導(dǎo)數(shù)。將動(dòng)量算符

代入式子中，從而得到狄拉克方程：

亦可以矢量符號(hào)寫(xiě)為：

其中的系數(shù)和不能是簡(jiǎn)單的常數(shù)，否則即使對(duì)于簡(jiǎn)單的空間旋轉(zhuǎn)變換，這個(gè)方程也不是洛倫茲協(xié)變的。因此狄拉克假設(shè)這些系數(shù)都是N×N階矩陣以滿足洛倫茲協(xié)變性。如果系數(shù)是矩陣，那么波函數(shù)也不能是簡(jiǎn)單的標(biāo)量場(chǎng)，而只能是N×1階列矢量：

狄拉克把這些列矢量叫做旋量（Spinor），這些旋量所決定的概率密度總是正值：

同時(shí)，這些旋量的每一個(gè)標(biāo)量分量需要滿足標(biāo)量場(chǎng)的克萊因-戈?duì)柕欠匠?。比較兩者可以得出系數(shù)矩陣需要滿足如下關(guān)系：

滿足以上條件的系數(shù)矩陣和本征值只可以取±1，并且要求是無(wú)跡的，即矩陣的對(duì)角線元素和為零。這樣，矩陣的階數(shù)N只能為偶數(shù)，即包含有相等數(shù)量的+1和-1。滿足條件的最小偶數(shù)是4而不是2，原因是存在3個(gè)泡利矩陣。也可以用狹義相對(duì)論慣用四維矩陣來(lái)理解，如四動(dòng)量。

在不同基中這些系數(shù)矩陣有不同形式，最常見(jiàn)的形式為：

這里即為泡利矩陣：

因此系數(shù)矩陣和可進(jìn)一步寫(xiě)為：

按照量子場(chǎng)論的自然單位制習(xí)慣，設(shè)，狄拉克方程可寫(xiě)為：

定義四個(gè)反對(duì)易矩陣γ，μ=0,1,2,3（稱為狄拉克矩陣）。其反對(duì)易關(guān)系為：，其中η是平直時(shí)空的度規(guī)。

利用上式可證明：

因此狄拉克方程可寫(xiě)成狄拉克方程（協(xié)變形式）：

采取自然單位制習(xí)慣，則可將狄拉克方程寫(xiě)成：

與上面給出的α,β相對(duì)應(yīng)，可以選擇：

或?qū)懗桑?/p>

若采用費(fèi)曼斜線標(biāo)記，比如偏微分符號(hào)（英語(yǔ)念作d-slash）；其將狄拉克矩陣與各分量做乘積求和的計(jì)算，合并為一標(biāo)有斜線之符號(hào)：

可使狄拉克方程變成：

若同時(shí)采用費(fèi)曼斜線符號(hào)及自然單位制?=c= 1，狄拉克方程可寫(xiě)成一極為簡(jiǎn)單的形式。即狄拉克方程（自然單位制）：

以狄拉克公式來(lái)解釋能量階，會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)電子能階會(huì)有相對(duì)的負(fù)能階，但是實(shí)驗(yàn)上普通電子無(wú)法帶有負(fù)能量，因此狄拉克假設(shè)負(fù)能量階已被無(wú)限的負(fù)能電子海占據(jù)，所以觀測(cè)的電子無(wú)法進(jìn)入負(fù)能階。這假說(shuō)有許多疑點(diǎn)，尤其是無(wú)限的電子海其實(shí)有接受更多電子的能階，所以無(wú)法防止負(fù)能階電子的產(chǎn)生。5

狄拉克旋量

旋量

狄拉克之海

石墨烯