[科普中國(guó)]-再生核

再生核又稱為重建核，它定量地給出了小波基的相關(guān)性和冗余性。如果變換系數(shù)之間有一定的相關(guān)性（不正交），就可能從其中一個(gè)變換系數(shù)恢復(fù)（或再生）出另外一個(gè)變換系數(shù)，因此，再生核的稱謂由此得來(lái)。

簡(jiǎn)介再生核又稱為重建核，它定量地給出了小波基的相關(guān)性和冗余性。

從小波基函數(shù)的定義可以猜想，如果a，τ參數(shù)連續(xù)變化，得到的小波基將是冗余的?；蛘哌@樣理解：如果在尺度-位移平面上的兩個(gè)點(diǎn) 和 很靠近，那么得到的小波基函數(shù) 和 形狀和大小很接近，位置也很靠近，它們具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而且隨著兩個(gè)點(diǎn)的更加靠近，相關(guān)性增強(qiáng)，反之則相關(guān)性減弱。存在相關(guān)性就意味著不正交（因?yàn)楦鶕?jù)概率論的知識(shí)，正交必定不相關(guān)），因此就存在著冗余。

推論尺度-位移連續(xù)變化的小波基函數(shù) 形成了一組非正交的過(guò)度完全基。其中的“過(guò)度”表示這一組基含有冗余性，“完全”表示這一組基可以完全覆蓋整個(gè)尺度一位移平面，這樣，任意一個(gè)信號(hào)都可以用這些基來(lái)分解表示。在 a-τ平面上任意兩點(diǎn) 和 ，其對(duì)應(yīng)的小波基函數(shù)之間究竟有多大的相關(guān)性，這就需要用再生核來(lái)描述和刻畫。從再生核的定義式，即

可以看出，式(1)實(shí)質(zhì)上是計(jì)算函數(shù)內(nèi)積 ，只是比例系數(shù)稍有不同。在數(shù)學(xué)上，內(nèi)積實(shí)質(zhì)上表示了兩個(gè)函數(shù)的“相似”程度。如果兩個(gè)信號(hào)矢量 與 完全垂直，那么內(nèi)積 再生核 表示兩個(gè)信號(hào)矢量完全不相關(guān)。如果矢量 與 完全平行，那么內(nèi)積 和再生核 都分別取得最大值，表示兩個(gè)信號(hào)矢量完全相關(guān)。式(1)中的系數(shù)為

表征了a-τ平面上任意兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的小波基函數(shù)之間的相關(guān)性，此外， 也可以表征連續(xù)小波變換系數(shù) 和 之間的相關(guān)性大小。如果變換系數(shù)之間有一定的相關(guān)性（不正交），就可能從其中一個(gè)變換系數(shù)恢復(fù)（或再生）出另外一個(gè)變換系數(shù)，因此，再生核的稱謂由此得來(lái)。實(shí)際上，要完全準(zhǔn)確恢復(fù)出 ，僅僅依靠 是不夠的，通過(guò) 只能提供部分恢復(fù)信息，如果將 的“部分貢獻(xiàn)”表示為

再生核方程 的完全準(zhǔn)確恢復(fù)需要a-τ平面上無(wú)數(shù)個(gè)類似于 的點(diǎn)的共同貢獻(xiàn)才能完成，這種無(wú)限多個(gè)貢獻(xiàn)的累積就歸結(jié)為a-τ平面上的二維積分，即

式(4)稱為重建核方程（或再生核方程）。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)