[科普中國]-蒙日方程

簡介

在偏微分方程的數(shù)學理論中，以Gaspard Monge命名的蒙日方程是獨立變量x1，...，xn中未知函數(shù)u的一階偏微分方程。1

這是u的偏導數(shù)中的多項式。 任何蒙日方程都有一個蒙日錐。

通常，將u = x0，寫入程度為k的蒙日方程式：

并表示差分dxk之間的關系。 給定點（x0，...，xn）上的蒙格錐是該點切線空間中的方程的零軌跡。

蒙日方程與（二階）蒙日-安培方程無關。

蒙日錐（Monge cone）在偏微分方程（PDE）的數(shù)學理論中，蒙日錐是與一階方程相關聯(lián)的幾何對象。2 它被命名為Gaspard Monge。 在兩個方面，讓

作為兩個變量x和y中的未知實值函數(shù)u的PDE。 假設這個PDE是非退化的，在定義域中既不為零， 修正一個點（x0，y0，z0）并考慮具有的解函數(shù)u

（1）滿足（2）的每個解確定圖形的切平面

通過點（x0，y0，z0）。 隨著對（ux，uy）求解（1）的變化，切平面包圍在R3中具有頂點（x0，y0，z0）的圓錐，稱為蒙日錐。 當F為準線性時，蒙日錐退化為稱為蒙日軸的單線。 否則，蒙日錐體是一個適當?shù)腻F體，因為通過固定點的平面和非同軸單參數(shù)系列的平面包圍錐體。 顯然，原始偏微分方程在R3的余切束上產(chǎn)生一個標量值函數(shù)，在一個點（x，y，z）上由

F的消失決定投影平面中具有均勻坐標（a：b：c）的曲線。 雙曲線是該點的投影切線空間中的曲線，該曲線上的仿射錐是蒙日錐。 錐體可以具有多個分支，每個分支在投影切線空間中的簡單閉合曲線上具有仿射錐。

當基點（x0，y0，z0）變化時，錐體也會變化。 因此，蒙格錐是R3上的錐形場。 因此，（1）的尋找解可以被解釋為在該點處找到與蒙日錐相切的表面。 這是特征的方法。

該技術推廣到n個空間變量中的標量一階偏微分方程；即，

通過，蒙日錐（或準線性情況下的軸）是PDE與。3