[科普中國]-局部超調(diào)和函數(shù)

在Brelot調(diào)和空間(X，H)中，設(shè)G為開集，則稱H(G)中的函數(shù)為G上的調(diào)和函數(shù)。對(duì)G上的下半連續(xù)函數(shù)u，若G中每一點(diǎn)x有一個(gè)開鄰域Vx，使得對(duì)任何一個(gè)閉包包含于Vx的正則區(qū)域D恒有μDu≤u在D成立，則稱u在G上(相對(duì)于H)是局部超調(diào)和的。用UH(G)表示G上所有相對(duì)于H是局部超調(diào)和的函數(shù)全體，則容易看到，對(duì)所有開集都作同樣考慮得到的函數(shù)簇UH是X上的一個(gè)超調(diào)和簇且當(dāng)記U'=UH時(shí)有HU'=H1。

基本介紹局部超調(diào)和函數(shù)(locally hyperharmonic function)是指在每一點(diǎn)的某個(gè)鄰域上有超調(diào)和性的函數(shù)。設(shè)U是一個(gè)開集，u是U上的取值于 的下半連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)每一 ，存在 的開鄰域 ，使得對(duì)任何滿足 的正則區(qū)域 ，在 上恒有 ( 是V的U調(diào)和測度)，那么u稱為U上的(相對(duì)于H的)局部超調(diào)和函數(shù)，記 為U上的局部超調(diào)和函數(shù)全體，則 是X上的超調(diào)和簇，稱為由H產(chǎn)生的超調(diào)和簇，并且，H就是與 相關(guān)的調(diào)和簇2。

相關(guān)定理引理1 設(shè) 是Brelot調(diào)和空間，G為區(qū)域且 ，若u在G是正的(即 )且有 使得 ，則u在G上恒等于01。

證明: 設(shè) ，則 為 中的單調(diào)增加列，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/YvPxTHmjwVRTjCCQWzsPalTESVnGKPC6mcPd.jpg" alt="" /> 有界(實(shí)際上，每個(gè) )，由公理3知

故對(duì)G中的x都有 ；所以 。

引理2 設(shè)是Brelot調(diào)和空間，D是一個(gè)正則區(qū)域，W是一個(gè)開集使得 ．那么對(duì)D中每個(gè)x成立

引理3 設(shè)是Brelot調(diào)和空間，D是X的一個(gè)區(qū)域，。若u在D的一個(gè)非空開子集W上恒等于，則它在D上也恒等于．換言之，u在D要么恒等于，要么在D的一個(gè)稠密子集恒等于。

**證****明：**設(shè){在x的一個(gè)開鄰域上恒等于}，顯然A是包含W的開集，我們斷言A=D，否則，設(shè)G是A的一個(gè)連通分支，于是且．因D是連通的，非空，設(shè)．因，由局部超調(diào)和函數(shù)的定義，存在z的一個(gè)開鄰域V，使得對(duì)任何一個(gè)閉包包含在V的正則區(qū)域U都有，取定一個(gè)及一個(gè)正則區(qū)域U使得且U的閉包包含在．因?yàn)镚是連通的，故非空。由于u在上恒等于，據(jù)上一引理知：對(duì)任意有；故

這說明，與z的定義矛盾，故。

定理4 設(shè)是Brelot調(diào)和空間，D是X的一個(gè)區(qū)域，且在D上有，若存在D中的點(diǎn)z使得，則。

**證明：**令，則G為開集，若G非空，令，顯然，．因?yàn)樵贕上。由上一引理知，在D上也有，這表明對(duì)任意有。

定理5 設(shè)是Brelot調(diào)和空間，G是開集，若存在使得，則G是相對(duì)于的一個(gè)MP集。

定理6 若是Brelot調(diào)和空間，則是一個(gè)調(diào)和空間，而且每個(gè)局部超調(diào)和函數(shù)都是超調(diào)和函數(shù)，即：若G是開集，，則在任何一個(gè)其閉包包含于G的正則區(qū)域D上有。

（關(guān)于文中所有結(jié)論的詳細(xì)證明請(qǐng)參考相應(yīng)書籍1）。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)