[科普中國(guó)]-亨特-惠登定理

亨特-惠登定理是函數(shù)在某點(diǎn)的非切向邊界值與半細(xì)邊界值之間的關(guān)系的定理。

簡(jiǎn)介亨特-惠登定理是函數(shù)在某點(diǎn)的非切向邊界值與半細(xì)邊界值之間的關(guān)系的定理。

該定理斷言：李普希茨區(qū)域上定義的任何函數(shù)若在x0∈?D有非切向邊界值，則在x0有與它相等的半細(xì)邊界值，反之不然；但若正調(diào)和函數(shù)在x0有半細(xì)邊界值，則在x0有相等的非切向邊界值。1

細(xì)邊界值細(xì)邊界值是函數(shù)在細(xì)拓?fù)湟饬x下的邊界值。

一般地，若x從D趨于x0(x0∈?D)時(shí)有f(x)→α，則稱α為f在x0的邊界值；當(dāng)此極限不存在時(shí)，限制x沿D的子集趨于x0，則可能有極限。

當(dāng)D∪?D上有細(xì)拓?fù)鋾r(shí)，若限制x在x0的一個(gè)細(xì)鄰域趨于x0時(shí)有f(x)→β，則稱f在x0有細(xì)邊界值β。

非切向邊界值非切向邊界值是區(qū)域上的函數(shù)當(dāng)限制自變量以某種特殊方式趨近于邊界點(diǎn)時(shí)的極限。

設(shè)D?Rn(n≥2)是一個(gè)李普希茨區(qū)域，即D為有界域且滿足條件：對(duì)每點(diǎn)Q∈?D，對(duì)應(yīng)一個(gè)局部坐標(biāo)系(X,y)，X∈Rn-1，y∈R1，及一個(gè)鄰域N和函數(shù)b(X)，使得：

1、|b(X)-b(X')|≤k|X-X'|（k為常數(shù)）；

2、N∩D=N∩{(X,y)|y≥b(X)}；

3、N∩?D=N∩{(X,y)|y=b(X)}。

設(shè)f是D上定義的函數(shù)，如果當(dāng)x沿著任何一個(gè)以x0∈?D為頂點(diǎn)的內(nèi)錐Γ（即存在一個(gè)以x0為頂點(diǎn)的錐Γ'使得）趨于x0時(shí)，f(x)有同一個(gè)極限值，就稱f在x0有非切向邊界值。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級(jí)工程師 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所